Encuentra el valor de la constante de integracion para dy/dx = x/(12-2xcuadrada)cubica si la condicion es que pasa por el punto 4,0

La ecuación diferencial dada es:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{x}{(12 - 2x^2)^3}
\]

Para resolver esta ecuación y encontrar la constante de integración, necesitamos integrar ambos lados con respecto a \(x\). Luego, utilizamos la condición de que la solución pasa por el punto \( (4, 0) \).

### Paso 1: Integrar ambos lados
Vamos a integrar ambos lados de la ecuación respecto a \(x\):

\[
y = \int \frac{x}{(12 - 2x^2)^3} dx
\]

Para facilitar la integración, podemos hacer el siguiente cambio de variable:

\[
u = 12 - 2x^2 \quad \text{entonces} \quad du = -4x dx
\]

Reescribimos la integral en términos de \(u\):

\[
y = -\frac{1}{4} \int u^{-3} du
\]

### Paso 2: Resolver la integral
La integral de \(u^{-3}\) es:

\[
\int u^{-3} du = \frac{u^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2u^2}
\]

Por lo tanto:

\[
y = -\frac{1}{4} \cdot \left( -\frac{1}{2u^2} \right) = \frac{1}{8u^2}
\]

Regresamos a la variable \(x\), recordando que \(u = 12 - 2x^2\):

\[
y = \frac{1}{8(12 - 2x^2)^2} + C
\]

### Paso 3: Aplicar la condición inicial
Sabemos que cuando \(x = 4\), \(y = 0\). Sustituimos estos valores en la ecuación para encontrar la constante de integración \(C\):

\[
0 = \frac{1}{8(12 - 2(4^2))^2} + C
\]

Calculamos el valor numérico:

\[
12 - 2(4^2) = 12 - 32 = -20
\]

Sustituimos en la ecuación:

\[
0 = \frac{1}{8(-20)^2} + C = \frac{1}{8(400)} + C = \frac{1}{3200} + C
\]

De aquí:

\[
C = -\frac{1}{3200}
\]

### Solución final
La solución general de la ecuación diferencial con la constante de integración es:

\[
y = \frac{1}{8(12 - 2x^2)^2} - \frac{1}{3200}
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo afecta la elección de un cambio de variable en el proceso de integración?
2. ¿Por qué es útil aplicar la condición inicial para encontrar la constante de integración?
3. ¿Qué técnicas de integración se aplican en ecuaciones diferenciales de este tipo?
4. ¿Cuál es la importancia del signo en la ecuación diferencial original?
5. ¿Cómo se podría abordar la solución sin el cambio de variable propuesto?

**Tip:** Siempre verifica que la condición inicial se satisfaga al final para evitar errores en la constante de integración.

Learn how to find the constant of integration for the differential equation dy/dx = x/(12-2x^2)^3 given that the solution passes through the point (4, 0). This problem involves key calculus concepts such as integration, u-substitution, and applying initial conditions.

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