Resolver por sustitucion a.∫ ((𝑥 + 3)
5
) 𝑑x

Para resolver la integral \(\int \left(x + 3\right)^5 \, dx\) utilizando el método de sustitución, seguimos estos pasos:

### Paso 1: Elección de la sustitución
Elegimos \(u\) de manera que simplifique la expresión. Una elección natural es:
\[
u = x + 3
\]
Entonces, la derivada de \(u\) con respecto a \(x\) es:
\[
\frac{du}{dx} = 1
\]
Lo que implica que:
\[
du = dx
\]

### Paso 2: Sustituir en la integral
Sustituimos \(u\) y \(dx\) en la integral original:
\[
\int \left(x + 3\right)^5 \, dx = \int u^5 \, du
\]

### Paso 3: Resolver la integral en términos de \(u\)
La integral \(\int u^5 \, du\) es una integral simple:
\[
\int u^5 \, du = \frac{u^6}{6} + C
\]
donde \(C\) es la constante de integración.

### Paso 4: Revertir la sustitución
Finalmente, volvemos a la variable original \(x\):
\[
\frac{u^6}{6} + C = \frac{(x + 3)^6}{6} + C
\]

### Respuesta final:
La solución a la integral es:
\[
\int \left(x + 3\right)^5 \, dx = \frac{(x + 3)^6}{6} + C
\]

¿Deseas detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplica la regla de la cadena al integrar funciones compuestas?
2. ¿Qué otros métodos existen para resolver integrales, aparte de la sustitución?
3. ¿Cómo resolver integrales definidas utilizando el método de sustitución?
4. ¿Cómo se determina cuándo es apropiado usar la sustitución en una integral?
5. ¿Qué diferencias existen entre la integración por partes y por sustitución?

**Tip:** La técnica de sustitución es particularmente útil cuando la derivada de una función dentro de la integral está presente en la expresión.

Explore the step-by-step solution to integrate (x + 3)^5 using the substitution method. Learn how to choose the right substitution, solve the integral, and revert to the original variable. Suitable for advanced high school and undergraduate students.

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