La tercera iteración con el método de Gauss-Seidel para resolver el sistema de ecuaciones
lineales
−x + 3y + 8z = 51
10x + y + 2z = 3
4x + 6y − z = 9
(0,0,0)

Para resolver el sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-Seidel, necesitamos convertir las ecuaciones en forma adecuada y luego realizar iteraciones sucesivas para mejorar las aproximaciones de las variables.

Dado el sistema:

1. \(-x + 3y + 8z = 51\)
2. \(10x + y + 2z = 3\)
3. \(4x + 6y - z = 9\)

Vamos a despejar las variables \(x\), \(y\) y \(z\) de cada una de las ecuaciones para poder realizar las iteraciones de Gauss-Seidel:

### Reescribimos cada ecuación:
1. \[ x = \frac{3y + 8z - 51}{-1} = 51 - 3y - 8z \]
2. \[ y = \frac{3 - 10x - 2z}{1} = 3 - 10x - 2z \]
3. \[ z = \frac{4x + 6y - 9}{-1} = 9 - 4x - 6y \]

### Primera iteración \((x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 0)\):

Usamos los valores iniciales \((x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 0)\):

1. \(x_1 = 51 - 3(0) - 8(0) = 51\)
2. \(y_1 = 3 - 10(51) - 2(0) = 3 - 510 = -507\)
3. \(z_1 = 9 - 4(51) - 6(-507) = 9 - 204 + 3042 = 2847\)

### Segunda iteración:

Usamos los valores obtenidos de la primera iteración:

1. \(x_2 = 51 - 3(-507) - 8(2847) = 51 + 1521 - 22776 = -21197\)
2. \(y_2 = 3 - 10(-21197) - 2(2847) = 3 + 211970 - 5694 = 206279\)
3. \(z_2 = 9 - 4(-21197) - 6(206279) = 9 + 84788 - 1237674 = -1152887\)

### Tercera iteración:

1. \(x_3 = 51 - 3(206279) - 8(-1152887) = 51 - 618837 + 9223096 = 8604310\)
2. \(y_3 = 3 - 10(8604310) - 2(-1152887) = 3 - 86043100 + 2305774 = -83737323\)
3. \(z_3 = 9 - 4(8604310) - 6(-83737323) = 9 - 34417240 + 502423938 = 467006707\)

Así que, después de la tercera iteración, los valores aproximados de \(x\), \(y\) y \(z\) son:

\[
x_3 \approx 8604310, \quad y_3 \approx -83737323, \quad z_3 \approx 467006707
\]

¿Te gustaría obtener más detalles sobre cómo se implementa este método, o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se implementa el método de Gauss-Seidel en un programa de computadora?
2. ¿Cuál es la diferencia entre el método de Jacobi y el de Gauss-Seidel?
3. ¿Cómo afecta la elección de los valores iniciales en la convergencia del método?
4. ¿Qué condiciones garantizan la convergencia del método de Gauss-Seidel?
5. ¿En qué casos no sería apropiado usar el método de Gauss-Seidel?

**Tip:** El método de Gauss-Seidel puede converger más rápido que otros métodos iterativos si el sistema es estrictamente diagonal dominante.

La tercera iteración con el método de Gauss-Seidel para resolver el sistema de ecuaciones lineales −x + 3y + 8z = 51, 10x + y + 2z = 3, 4x + 6y − z = 9 (0,0,0).

Explore how to use the Gauss-Seidel method to solve the system of linear equations: −x + 3y + 8z = 51, 10x + y + 2z = 3, 4x + 6y − z = 9, with an initial guess (0, 0, 0). This guide covers the third iteration, including step-by-step calculations and key mathematical concepts like iterative methods and systems of linear equations.

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