Em um campeonato de futsal entre cinco equipes, o qual denominaremos pelos números 1 o time A, 2 o time B, 3 o time C, 4 o time D e 5 o time D, a matriz G = (gij)5x5, em que cada elemento gij, indica a quantidade do gols que a equipe i fez quando jogou com a equipe j.
A pontuação por jogo é definida da seguinte forma:
* Vitória: 2 pontos.
* Empate: 1 ponto.
* Derrota: 0 ponto.
Caso aconteça empate na pontuação das equipes, os demais critérios de desempate são:
* 1º maior número de vitórias.
* 2º maior saldo de gols.
* 3º maior número de gols pró (gols feitos)
Desta forma, com base na matriz B e as informações sobre a pontuação e desempate:
a) (4 pontos) Determine o resultado de todos os dez jogos realizados. (exemplo: A x B = 5 x 4)
b) (6 pontos) Construa uma tabela que apresenta a classificação final após todos os jogos, descrevendo para cada coluna a seguinte informação:
Classificação | Equipe | Pontuação | Vitórias | Empates | Derrotas | Gols Marcados | Gols Contra | Saldo de Gols


Vamos resolver esse problema em duas partes. A primeira envolve a determinação dos resultados de todos os jogos (parte a), e a segunda requer a construção da tabela de classificação final (parte b).

### Parte a) Determinação dos resultados de todos os jogos

A matriz \( G = (g_{ij})_{5x5} \), onde cada elemento \( g_{ij} \) indica o número de gols que a equipe \( i \) fez contra a equipe \( j \), é a chave para determinar o placar de cada partida. No entanto, como você não forneceu a matriz \( G \), podemos proceder com um exemplo genérico de uma matriz hipotética \( G \) para ilustrar a metodologia.

Vamos supor que a matriz de gols \( G \) tenha os seguintes valores:

\[
G = 
\begin{pmatrix}
0 & 2 & 3 & 1 & 4 \\
1 & 0 & 2 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 0 & 3 & 1 \\
0 & 4 & 2 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 4 & 3 & 0
\end{pmatrix}
\]

Nesta matriz:

- O elemento \( g_{ij} \) indica a quantidade de gols que o time \( i \) fez contra o time \( j \).
- O elemento \( g_{ji} \) indica a quantidade de gols que o time \( j \) fez contra o time \( i \).

#### Resultados dos Jogos:
Agora podemos determinar o placar de cada um dos dez jogos (considerando que cada time joga contra os outros uma vez).

1. **Jogo 1 x 2** (Time A x Time B): \( 2 \times 1 \) (A 2 x 1 B)
2. **Jogo 1 x 3** (Time A x Time C): \( 3 \times 2 \) (A 3 x 2 C)
3. **Jogo 1 x 4** (Time A x Time D): \( 1 \times 0 \) (A 1 x 0 D)
4. **Jogo 1 x 5** (Time A x Time E): \( 4 \times 1 \) (A 4 x 1 E)

5. **Jogo 2 x 3** (Time B x Time C): \( 2 \times 1 \) (B 2 x 1 C)
6. **Jogo 2 x 4** (Time B x Time D): \( 2 \times 4 \) (B 2 x 4 D)
7. **Jogo 2 x 5** (Time B x Time E): \( 3 \times 2 \) (B 3 x 2 E)

8. **Jogo 3 x 4** (Time C x Time D): \( 3 \times 2 \) (C 3 x 2 D)
9. **Jogo 3 x 5** (Time C x Time E): \( 1 \times 4 \) (C 1 x 4 E)

10. **Jogo 4 x 5** (Time D x Time E): \( 1 \times 3 \) (D 1 x 3 E)

#### Todos os resultados dos jogos:
- A x B: \( 2 \times 1 \)
- A x C: \( 3 \times 2 \)
- A x D: \( 1 \times 0 \)
- A x E: \( 4 \times 1 \)
- B x C: \( 2 \times 1 \)
- B x D: \( 2 \times 4 \)
- B x E: \( 3 \times 2 \)
- C x D: \( 3 \times 2 \)
- C x E: \( 1 \times 4 \)
- D x E: \( 1 \times 3 \)

### Parte b) Tabela de Classificação Final

Agora, com base nos resultados dos jogos, podemos calcular a pontuação, vitórias, empates, derrotas, gols marcados, gols sofridos e saldo de gols para cada equipe.

Vamos compilar os dados:

| Classificação | Equipe | Pontos | Vitórias | Empates | Derrotas | Gols Pró | Gols Contra | Saldo de Gols |
|---------------|--------|--------|----------|---------|----------|----------|--------------|---------------|
| 1º            | A      | 8      | 4        | 0       | 0        | 10       | 4            | 6             |
| 2º            | E      | 6      | 3        | 0       | 1        | 10       | 7            | 3             |
| 3º            | C      | 4      | 2        | 0       | 2        | 6        | 10           | -4            |
| 4º            | B      | 2      | 1        | 0       | 3        | 6        | 10           | -4            |
| 5º            | D      | 0      | 0        | 0       | 4        | 3        | 8            | -5            |

### Explicação da tabela:
- **Pontos**: Vitória = 2 pontos, Empate = 1 ponto, Derrota = 0 pontos.
- **Vitórias**: Número de jogos que cada equipe venceu.
- **Empates**: Não houve empates neste exemplo.
- **Derrotas**: Número de jogos que cada equipe perdeu.
- **Gols Pró**: Total de gols que cada equipe fez.
- **Gols Contra**: Total de gols que cada equipe sofreu.
- **Saldo de Gols**: Gols Pró menos Gols Contra.

### Considerações:
- No exemplo, o time A teve a melhor campanha com 4 vitórias, somando 8 pontos.
- O time E ficou em segundo com 6 pontos e saldo de gols superior.
- O time C ficou em terceiro lugar com 4 pontos, empatando em saldo de gols com o time B, mas com mais vitórias, ficando acima.
- O time D perdeu todas as partidas e ficou em último.

---

Se precisar de mais detalhes ou ajuda para personalizar os cálculos com uma matriz específica, estou à disposição!

### Perguntas Relacionadas:
1. Como o saldo de gols pode ser decisivo em um campeonato como este?
2. Qual a importância de se estabelecer critérios de desempate em competições esportivas?
3. Como as diferentes fórmulas de pontuação podem influenciar o comportamento das equipes durante os jogos?
4. Se houvesse empates em alguns jogos, como a tabela de classificação mudaria?
5. Quais seriam outras formas de desempate, além das listadas no problema?

**Dica**: Em campeonatos com poucas equipes, o saldo de gols pode ser um fator decisivo na classificação, então marcar gols e evitar sofrer gols pode ser crucial.

Em um campeonato de futsal entre cinco equipes, o qual denominaremos pelos números 1 o time A, 2 o time B, 3 o time C, 4 o time D e 5 o time D, a matriz G = (gij)5x5, em que cada elemento gij, indica a quantidade do gols que a equipe i fez quando jogou com a equipe j. A pontuação por jogo é definida da seguinte forma: * Vitória: 2 pontos. * Empate: 1 ponto. * Derrota: 0 ponto. Caso aconteça empate na pontuação das equipes, os demais critérios de desempate são: * 1º maior número de vitórias. * 2º maior saldo de gols. * 3º maior número de gols pró (gols feitos) Desta forma, com base na matriz B e as informações sobre a pontuação e desempate: a) (4 pontos) Determine o resultado de todos os dez jogos realizados. (exemplo: A x B = 5 x 4) b) (6 pontos) Construa uma tabela que apresenta a classificação final após todos os jogos, descrevendo para cada coluna a seguinte informação: Classificação | Equipe | Pontuação | Vitórias | Empates | Derrotas | Gols Marcados | Gols Contra | Saldo de Gols

Explore how to determine the results of a futsal championship with five teams using a 5x5 matrix representing goals scored. Learn how to calculate points, wins, goal difference, and build the final standings table based on tiebreaker rules. This problem covers matrix concepts and scoring systems, suitable for high school students.

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