La manera de encontrar los estimadores 𝛽̂1 y 𝛽̂0. Para el modelo de R.L.S cuando se da la regresión a través
del origen

En un modelo de regresión lineal simple (RLS) que pasa a través del origen, la relación entre la variable dependiente \( Y \) y la variable independiente \( X \) se expresa como:

\[
Y = \beta_1 X + \epsilon
\]

Aquí, \(\beta_0\) (el intercepto) se asume igual a 0, por lo tanto no está presente en el modelo. El objetivo es encontrar el estimador de \(\beta_1\), denotado como \(\hat{\beta}_1\).

### Paso a Paso para Encontrar \(\hat{\beta}_1\)

1. **Función de pérdida (Suma de los Cuadrados de los Errores):**  
   La función de pérdida a minimizar es la suma de los cuadrados de los errores (residuos):

   \[
   S(\beta_1) = \sum_{i=1}^{n} \left(Y_i - \beta_1 X_i\right)^2
   \]

2. **Derivada Parcial con respecto a \(\beta_1\):**  
   Para minimizar \(S(\beta_1)\), tomamos la derivada parcial con respecto a \(\beta_1\) y la igualamos a cero:

   \[
   \frac{\partial S(\beta_1)}{\partial \beta_1} = -2\sum_{i=1}^{n} X_i \left(Y_i - \beta_1 X_i\right) = 0
   \]

3. **Solución para \(\beta_1\):**  
   Resolvemos para \(\beta_1\):

   \[
   \sum_{i=1}^{n} X_i Y_i = \beta_1 \sum_{i=1}^{n} X_i^2
   \]

   \[
   \hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i Y_i}{\sum_{i=1}^{n} X_i^2}
   \]

Este es el estimador de mínimos cuadrados para \(\beta_1\) en una regresión que pasa por el origen.

### Resumen
- En una regresión que pasa por el origen (sin intercepto), solo se estima \(\beta_1\).
- El estimador de mínimos cuadrados para \(\beta_1\) es \(\hat{\beta}_1 = \frac{\sum X_i Y_i}{\sum X_i^2}\).

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso en particular o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas
1. ¿Cómo se calcula la varianza del estimador \(\hat{\beta}_1\) en este modelo?
2. ¿Qué pasa si el supuesto de que la regresión pasa por el origen es incorrecto?
3. ¿Cómo se evalúa la bondad del ajuste en un modelo sin intercepto?
4. ¿Cuáles son las diferencias clave entre una regresión con y sin intercepto?
5. ¿Cómo afecta la escala de las variables \(X\) y \(Y\) en la estimación de \(\hat{\beta}_1\)?

### Tip
Al usar modelos de regresión que pasan por el origen, es crucial verificar si realmente no se necesita un intercepto. Forzar el modelo a pasar por el origen cuando no es apropiado puede llevar a estimaciones sesgadas.

Learn how to find estimators 𝛽̂1 and 𝛽̂0 for the R.L.S model when regression passes through the origin. Detailed steps and formulas for 𝛽̂1 estimation in a linear regression without intercept. Suitable for advanced learners.

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