Considere un modelo lineal con μi = β0 + xiβ1, para i = 1, ..., 15. Las
ecuaciones normales son
 15 374.50
374.50 9482.75
  β0
β1

=
 6.03
158.25

,
y yT y = 3.03.
Estime los par ́ametros del modelo.

Para estimar los parámetros del modelo lineal dado, necesitamos resolver el sistema de ecuaciones normales provisto:

\[
\begin{pmatrix}
15 & 374.50 \\
374.50 & 9482.75
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\beta_0 \\
\beta_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
6.03 \\
158.25
\end{pmatrix}
\]

Este es un sistema lineal de la forma \(A\mathbf{\beta} = \mathbf{b}\), donde:

\[
A = \begin{pmatrix}
15 & 374.50 \\
374.50 & 9482.75
\end{pmatrix}, \quad
\mathbf{\beta} = \begin{pmatrix}
\beta_0 \\
\beta_1
\end{pmatrix}, \quad
\mathbf{b} = \begin{pmatrix}
6.03 \\
158.25
\end{pmatrix}
\]

Para encontrar los valores de \(\beta_0\) y \(\beta_1\), debemos resolver la ecuación \(\mathbf{\beta} = A^{-1}\mathbf{b}\), donde \(A^{-1}\) es la matriz inversa de \(A\).

Primero, calculamos la inversa de la matriz \(A\):

\[
A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{pmatrix}
a_{22} & -a_{12} \\
-a_{21} & a_{11}
\end{pmatrix}
\]

Donde \(\text{det}(A)\) es el determinante de \(A\):

\[
\text{det}(A) = (15)(9482.75) - (374.50)(374.50)
\]

Luego, multiplicamos \(A^{-1}\) por \(\mathbf{b}\) para obtener \(\mathbf{\beta}\).

Voy a realizar estos cálculos ahora.Los estimadores de los parámetros del modelo lineal son:

\[
\hat{\beta}_0 = -1.0465
\]
\[
\hat{\beta}_1 = 0.0580
\]

Esto significa que la mejor estimación para el intercepto (\(\beta_0\)) es aproximadamente \(-1.0465\) y para la pendiente (\(\beta_1\)) es aproximadamente \(0.0580\).

¿Deseas más detalles sobre cómo se resolvió este sistema de ecuaciones o tienes alguna otra pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas que podrían interesarte:
1. ¿Cómo se interpreta \(\beta_0\) y \(\beta_1\) en un modelo lineal?
2. ¿Qué ocurre si la matriz \(A\) no tiene inversa?
3. ¿Cómo se obtiene el error estándar de los estimadores \(\beta_0\) y \(\beta_1\)?
4. ¿Qué otros métodos existen para estimar parámetros en un modelo lineal?
5. ¿Cómo influye el tamaño de la muestra en la estimación de los parámetros?

**Tip:** Siempre es recomendable verificar la condición de la matriz \(A\) antes de intentar calcular su inversa para asegurarse de que sea invertible y bien condicionada.

Learn how to estimate parameters (β0 and β1) in a linear model using normal equations. This problem involves solving a system of linear equations represented by matrix algebra. Detailed step-by-step solution provided.

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