La manera de encontrar los estimadores 𝛽̂1 y 𝛽̂0. Para el modelo de R.L.S.

En un modelo de **Regresión Lineal Simple (RLS)**, se busca ajustar una línea recta a un conjunto de datos con el fin de predecir una variable dependiente \( y \) en función de una variable independiente \( x \). La ecuación del modelo se expresa como:

\[
y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon
\]

donde:
- \( y \) es la variable dependiente,
- \( x \) es la variable independiente,
- \( \beta_0 \) es la ordenada al origen (intercepto),
- \( \beta_1 \) es la pendiente de la línea (coeficiente de regresión), y
- \( \epsilon \) es el término de error (residuo).

### Estimadores \( \betâ_0 \) y \( \betâ_1 \)

Para encontrar los estimadores \( \hat{\beta}_0 \) y \( \hat{\beta}_1 \), se minimiza la suma de los cuadrados de los errores (diferencias entre los valores observados \( y_i \) y los valores predichos \( \hat{y}_i \)):

\[
\text{Minimizar } S(\beta_0, \beta_1) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2 = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \beta_0 - \beta_1 x_i)^2
\]

Para minimizar esta función de error, se derivan las ecuaciones normales respecto a \( \beta_0 \) y \( \beta_1 \), y se igualan a cero:

\[
\frac{\partial S}{\partial \beta_0} = -2 \sum_{i=1}^{n} (y_i - \beta_0 - \beta_1 x_i) = 0
\]

\[
\frac{\partial S}{\partial \beta_1} = -2 \sum_{i=1}^{n} x_i (y_i - \beta_0 - \beta_1 x_i) = 0
\]

Resolviendo estas ecuaciones, se obtienen los estimadores:

1. **Estimador de la pendiente (\( \hat{\beta}_1 \))**:
\[
\hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}
\]

2. **Estimador del intercepto (\( \hat{\beta}_0 \))**:
\[
\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}
\]

donde \( \bar{x} \) y \( \bar{y} \) son las medias de \( x \) e \( y \), respectivamente.

### Interpretación:
- \( \hat{\beta}_1 \) representa el cambio esperado en \( y \) por cada unidad de cambio en \( x \).
- \( \hat{\beta}_0 \) representa el valor esperado de \( y \) cuando \( x = 0 \).

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta?

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**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Cómo se interpreta la significancia estadística de \( \hat{\beta}_1 \) y \( \hat{\beta}_0 \)?
2. ¿Qué suposiciones se hacen en el modelo de Regresión Lineal Simple?
3. ¿Cómo se calcula el error estándar de los estimadores \( \hat{\beta}_1 \) y \( \hat{\beta}_0 \)?
4. ¿Qué es el coeficiente de determinación (\( R^2 \)) y cómo se interpreta en RLS?
5. ¿Cómo se evalúa la calidad del ajuste del modelo de RLS?

**Tip:** Para aplicar la Regresión Lineal Simple en un software estadístico, como R o Python, se puede usar funciones como `lm()` en R o `LinearRegression()` en scikit-learn de Python.

Aprende cómo encontrar los estimadores β̂₁ y β̂₀ en un modelo de Regresión Lineal Simple (RLS), donde se ajusta una línea recta a un conjunto de datos para predecir una variable dependiente en función de una variable independiente. Incluye ecuaciones clave y métodos de cálculo para estudiantes universitarios.

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