Encuentre el valor de m de modo que la funci ́on
y = xm sea una soluci ́on de la ED dada,
3A xy′′ + 2y′ = 0
(a) m = 0 o m = −1
(b) m = 2 o m = 3

(c) m = 1 o m = 2
(d) Ninguna.

La ecuación diferencial dada es:

\[
3A x y'' + 2 y' = 0
\]

Queremos encontrar el valor de \( m \) tal que \( y = x^m \) sea una solución.

### Paso 1: Derivadas de \( y = x^m \)
Primero, calculamos las primeras y segundas derivadas de \( y = x^m \):

1. Primera derivada \( y' \):
\[
y' = m x^{m-1}
\]

2. Segunda derivada \( y'' \):
\[
y'' = m(m-1) x^{m-2}
\]

### Paso 2: Sustituimos en la ecuación diferencial

Ahora, sustituimos \( y \), \( y' \) y \( y'' \) en la ecuación diferencial original:

\[
3A x y'' + 2 y' = 0
\]

Sustituyendo las derivadas:

\[
3A x \cdot m(m-1) x^{m-2} + 2 \cdot m x^{m-1} = 0
\]

Simplificando cada término:

\[
3A m(m-1) x^{m-1} + 2m x^{m-1} = 0
\]

Factorizamos \( x^{m-1} \) y \( m \) de ambos términos:

\[
x^{m-1} m \left[ 3A(m-1) + 2 \right] = 0
\]

Para que esta ecuación sea igual a cero, una de dos cosas debe suceder:
1. \( x^{m-1} m = 0 \), lo cual no es posible porque \( x^{m-1} \neq 0 \) para \( x \neq 0 \) y \( m \neq 0 \).
2. El término dentro del paréntesis debe ser cero:

\[
3A(m-1) + 2 = 0
\]

### Paso 3: Resolver para \( m \)

Resolviendo esta ecuación:

\[
3A(m-1) = -2
\]

\[
m - 1 = \frac{-2}{3A}
\]

\[
m = 1 - \frac{2}{3A}
\]

### Paso 4: Conclusión

El valor de \( m \) depende de \( A \), por lo tanto, ninguna de las opciones dadas es correcta. La respuesta correcta es:

**(d) Ninguna.**

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna pregunta adicional?

---

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Qué método se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales lineales?
2. ¿Cómo se determina una solución general de una ecuación diferencial homogénea?
3. ¿Qué sucede si \( A = 1 \) en este caso?
4. ¿Qué es una solución particular en el contexto de las ecuaciones diferenciales?
5. ¿Cómo cambia la solución si la ecuación diferencial incluye un término independiente?

**Tip:** Cuando trabajes con ecuaciones diferenciales, verifica si puedes factorizar términos comunes para simplificar la resolución.

Encuentre el valor de m de modo que la función y = x^m sea una solución de la ED dada, 3A xy′′ + 2y′ = 0 (a) m = 0 o m = −1 (b) m = 2 o m = 3 (c) m = 1 o m = 2 (d) Ninguna.

Solve for the value of m such that y = x^m is a solution to the second-order differential equation 3A xy′′ + 2y′ = 0. This problem involves differentiating power functions and applying the general method for homogeneous linear differential equations. Suitable for undergraduate students studying Calculus II or Differential Equations.

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