xy 
′′
 +2y 
′
 −xy=2e 
x
 avec ça quelle assertion parmis les precedentes en correcte 

Nous avons l'équation différentielle suivante à résoudre :

\[
xy'' + 2y' - xy = 2e^x
\]

Cette équation est non homogène et du second ordre. Pour résoudre cette équation, nous devons examiner d'abord l'équation homogène, puis trouver une solution particulière.

### Étape 1 : Résolution de l'équation homogène
L'équation homogène associée est :

\[
xy'' + 2y' - xy = 0
\]

Pour résoudre cette équation, on utilise la méthode de la substitution : supposons que la solution soit de la forme \(y = x^m\). Calculons les dérivées :

\[
y' = m x^{m-1}, \quad y'' = m(m-1)x^{m-2}
\]

En substituant dans l'équation homogène :

\[
x[m(m-1)x^{m-2}] + 2[mx^{m-1}] - x[x^m] = 0
\]

Ce qui donne :

\[
m(m-1)x^m + 2mx^m - x^{m+1} = 0
\]

On peut factoriser par \(x^m\) :

\[
x^m[m(m-1) + 2m - x] = 0
\]

Ainsi, l'équation caractéristique devient :

\[
m(m-1) + 2m = x
\]

Cela nous permettrait de résoudre pour \(m\) et de trouver la solution générale homogène (si nous prenons en compte la partie homogène seulement).

### Étape 2 : Résolution de la partie non homogène
Ensuite, pour résoudre l'équation complète \(xy'' + 2y' - xy = 2e^x\), nous devons utiliser la méthode de solution particulière. Puisque le terme non homogène est \(2e^x\), nous allons supposer une solution particulière sous la forme \(y_p = Ae^x\), où \(A\) est une constante.

### Solution partielle correcte

En conclusion, parmi les étapes que nous avons mentionnées précédemment :
1. Nous devons résoudre l'équation homogène pour obtenir la solution générale de la partie homogène.
2. Ensuite, nous trouvons une solution particulière en supposant une forme pour \(y_p = A e^x\).
3. Finalement, la solution générale est la somme de

xy'' + 2y' - xy = 2e^x avec ça quelle assertion parmis les precedentes en correcte

Learn how to solve the second-order non-homogeneous differential equation xy'' + 2y' - xy = 2e^x step-by-step. This problem involves concepts from differential equations, including the homogeneous and particular solutions. Ideal for advanced high school calculus or undergraduate mathematics students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation