Cuando cierto fármaco se toma oralmente, su concentración en el torrente 
sanguíneo del paciente (medida en mg/L) luego de 𝑡 minutos, está dada por la 
expresión:  
�
�(𝑡) = 0.06𝑡 −0.0002𝑡2,        
con 0 ≤ 𝑡 ≤240. 
i) ¿Cuándo se alcanza la concentración máxima? 
ii) ¿Cuál es esa concentra

Dada la función que describe la concentración del fármaco en el torrente sanguíneo, \( C(t) = 0.06t - 0.0002t^2 \), donde \( t \) es el tiempo en minutos y \( C(t) \) es la concentración en mg/L, resolveremos los siguientes puntos:

### i) ¿Cuándo se alcanza la concentración máxima?

Para encontrar el tiempo \( t \) en el que se alcanza la concentración máxima, debemos encontrar el vértice de la parábola. La función \( C(t) = 0.06t - 0.0002t^2 \) es una parábola con concavidad hacia abajo, ya que el coeficiente de \( t^2 \) es negativo.

La fórmula para encontrar el tiempo \( t \) en el que se alcanza el máximo (vértice de la parábola) es:

\[
t = -\frac{b}{2a}
\]

Donde:
- \( a = -0.0002 \) (coeficiente de \( t^2 \))
- \( b = 0.06 \) (coeficiente de \( t \))

Sustituyendo los valores:

\[
t = -\frac{0.06}{2(-0.0002)} = \frac{0.06}{0.0004} = 150 \text{ minutos}
\]

Por lo tanto, la concentración máxima se alcanza a los 150 minutos.

### ii) ¿Cuál es esa concentración máxima?

Para encontrar la concentración máxima, sustituimos el valor de \( t = 150 \) en la función \( C(t) \):

\[
C(150) = 0.06(150) - 0.0002(150)^2
\]

Calculamos cada término:

\[
C(150) = 0.06(150) - 0.0002(22500)
\]

\[
C(150) = 9 - 4.5 = 4.5 \text{ mg/L}
\]

Por lo tanto, la concentración máxima es de **4.5 mg/L**.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta adicional?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo cambiaría la concentración máxima si se modificara la dosis del fármaco?
2. ¿Qué significa el término cuadrático en la ecuación de concentración?
3. ¿Cómo se interpreta la concavidad de la función en términos de la concentración del fármaco en el tiempo?
4. ¿Cuál sería la concentración a los 120 minutos?
5. ¿Qué sucede con la concentración después de 240 minutos?
6. ¿Qué papel juega el tiempo en la disminución de la concentración después del pico máximo?
7. ¿Cómo se podría ajustar la dosis para alcanzar un pico de concentración diferente?
8. ¿Qué indicaría una concentración constante en términos de la función cuadrática?

**Tip:** La concentración máxima de un fármaco es un punto crítico para determinar la eficacia y seguridad del tratamiento. Conocer cuándo ocurre este pico es crucial para optimizar la administración del medicamento.

Explore how to find the maximum concentration of a drug over time using a quadratic equation model. Learn about the vertex form of a parabola and its application in determining peak drug concentration. Example calculation provided for clarity.

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