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analiza la imagen y encuentra exponente final  de x

Para resolver el problema de encontrar el exponente final de \( x \) en la expresión dada, sigamos los siguientes pasos:

### Expresión dada:
\[
\left(\frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{x_3}{x_4} \cdot \frac{x_5}{x_6} \cdot \frac{x_7}{x_8}\right)^{243} \div \left(\frac{x_1}{x_4} \cdot \frac{x_5}{x_7}\right)^{256}
\]

### Simplificación:
1. **Expresión dentro del primer paréntesis (exponente 243):**

   La expresión es una multiplicación de fracciones:
   \[
   \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{x_3}{x_4} \cdot \frac{x_5}{x_6} \cdot \frac{x_7}{x_8}
   \]

   Al multiplicar fracciones, se combinan los numeradores y denominadores:
   \[
   \frac{x_1 \cdot x_3 \cdot x_5 \cdot x_7}{x_2 \cdot x_4 \cdot x_6 \cdot x_8}
   \]

   Ahora elevamos esto a la potencia 243:
   \[
   \left(\frac{x_1 \cdot x_3 \cdot x_5 \cdot x_7}{x_2 \cdot x_4 \cdot x_6 \cdot x_8}\right)^{243} = \frac{x_1^{243} \cdot x_3^{243} \cdot x_5^{243} \cdot x_7^{243}}{x_2^{243} \cdot x_4^{243} \cdot x_6^{243} \cdot x_8^{243}}
   \]

2. **Expresión dentro del segundo paréntesis (exponente 256):**

   Similarmente, simplificamos la expresión:
   \[
   \frac{x_1}{x_4} \cdot \frac{x_5}{x_7} = \frac{x_1 \cdot x_5}{x_4 \cdot x_7}
   \]

   Elevando a la potencia 256:
   \[
   \left(\frac{x_1 \cdot x_5}{x_4 \cdot x_7}\right)^{256} = \frac{x_1^{256} \cdot x_5^{256}}{x_4^{256} \cdot x_7^{256}}
   \]

3. **División de las dos expresiones:**

   Ahora, dividimos la primera expresión elevada a 243 por la segunda expresión elevada a 256:
   \[
   \frac{x_1^{243} \cdot x_3^{243} \cdot x_5^{243} \cdot x_7^{243}}{x_2^{243} \cdot x_4^{243} \cdot x_6^{243} \cdot x_8^{243}} \div \frac{x_1^{256} \cdot x_5^{256}}{x_4^{256} \cdot x_7^{256}}
   \]

   La división de fracciones es equivalente a multiplicar por el inverso:
   \[
   \frac{x_1^{243} \cdot x_3^{243} \cdot x_5^{243} \cdot x_7^{243}}{x_2^{243} \cdot x_4^{243} \cdot x_6^{243} \cdot x_8^{243}} \cdot \frac{x_4^{256} \cdot x_7^{256}}{x_1^{256} \cdot x_5^{256}}
   \]

   Ahora simplificamos combinando términos semejantes:
   \[
   x_1^{243 - 256} \cdot x_3^{243} \cdot x_5^{243 - 256} \cdot x_7^{243 - 256} \cdot x_4^{256 - 243} \cdot \frac{1}{x_2^{243} \cdot x_6^{243} \cdot x_8^{243}}
   \]
   \[
   = x_1^{-13} \cdot x_3^{243} \cdot x_5^{-13} \cdot x_7^{-13} \cdot x_4^{13} \cdot \frac{1}{x_2^{243} \cdot x_6^{243} \cdot x_8^{243}}
   \]

### Exponente final:
El exponente final de \( x \) es la suma de los exponentes:
\[
-13 + 243 - 13 - 13 + 13 - 243 - 243 - 243 = -243
\]

Por lo tanto, el exponente final es \(-243\).

¿Tienes alguna pregunta o te gustaría más detalles?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se simplifican expresiones con exponentes negativos?
2. ¿Cuál es la propiedad de los exponentes al dividir potencias de la misma base?
3. ¿Qué sucede cuando se multiplica una fracción por su inverso?
4. ¿Cómo se aplica la ley de exponentes en expresiones más complejas?
5. ¿Qué pasos se deben seguir para resolver problemas similares con diferentes bases?

### Consejo:
Siempre revisa la simplificación de exponentes negativos para asegurarte de que todas las bases y exponentes estén correctamente combinados antes de sumar o restar los exponentes finales.

Learn how to find the final exponent of x in a complex fractional exponent expression involving multiplication and division of fractions raised to different powers. This detailed step-by-step solution covers algebraic concepts like exponent rules, fraction operations, and simplification techniques. Suitable for high school students and anyone interested in advanced algebra problems.

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