Diketahui lingkaran 1 sepusat dengan lingkaran 2 dan melalui titik (2,8) jika persamaan lingkaran adalah x²+y²-x+2y-5=0 maka tentukan persamaan lingkaran 1

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita akan mencari persamaan Lingkaran 1 yang sepusat dengan Lingkaran 2 dan melalui titik \((2, 8)\). Berikut adalah langkah-langkahnya:

### 1. Identifikasi Pusat Lingkaran 2

Persamaan umum lingkaran dalam bentuk:
\[
x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0
\]
dimana pusat lingkaran \((h, k)\) dapat ditemukan dengan rumus:
\[
h = -\frac{A}{2}, \quad k = -\frac{B}{2}
\]
Dari persamaan yang diberikan \(x^2 + y^2 - x + 2y - 5 = 0\), kita dapat melihat bahwa:
\[
A = -1, \quad B = 2, \quad C = -5
\]
Jadi, pusat lingkaran \((h, k)\) adalah:
\[
h = -\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}, \quad k = -\left(\frac{2}{2}\right) = -1
\]
Pusat lingkaran adalah \(\left(\frac{1}{2}, -1\right)\).

### 2. Tentukan Jari-jari Lingkaran 1

Karena Lingkaran 1 sepusat dengan Lingkaran 2 tetapi melalui titik \((2, 8)\), kita dapat menghitung jari-jari Lingkaran 1 menggunakan rumus jarak antara pusat dan titik pada lingkaran:
\[
r = \sqrt{\left(x_1 - h\right)^2 + \left(y_1 - k\right)^2}
\]
Substitusikan nilai \((x_1, y_1)\) dengan \((2, 8)\), dan \((h, k)\) dengan \(\left(\frac{1}{2}, -1\right)\):
\[
r = \sqrt{\left(2 - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(8 + 1\right)^2}
\]
\[
r = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 9^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 81} = \sqrt{\frac{9 + 324}{4}} = \sqrt{\frac{333}{4}} = \frac{\sqrt{333}}{2}
\]

### 3. Tuliskan Persamaan Lingkaran 1

Dengan mengetahui pusat \(\left(\frac{1}{2}, -1\right)\) dan jari-jari \(\frac{\sqrt{333}}{2}\), persamaan Lingkaran 1 dapat ditulis dalam bentuk standar:
\[
\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y + 1\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{333}}{2}\right)^2
\]
Mengalikan semuanya dengan 4 untuk menghilangkan pecahan:
\[
4\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + 4\left(y + 1\right)^2 = 333
\]
\[
\left(

Learn how to find the equation of a circle centered at (1/2, -1) and passing through the point (2, 8). This problem involves circle geometry and coordinate geometry, using the distance formula and standard form of the circle equation. Suitable for high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation