Determinar la ecuación general de una circunferencia de radio 5, con centro 
sobre el eje X  y  que contiene al punto P(5,4). 

Para determinar la ecuación general de una circunferencia con las condiciones dadas, seguimos estos pasos:

### 1. **Ecuación de la circunferencia**
La ecuación general de una circunferencia con centro \((h, k)\) y radio \(r\) es:
\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]
Dado que el centro está sobre el eje X, \(k = 0\). Por lo tanto, la ecuación se simplifica a:
\[
(x - h)^2 + y^2 = 25
\]
(Sustituyendo \(r = 5\)).

### 2. **Uso del punto \(P(5, 4)\)**
Como el punto \(P(5, 4)\) pertenece a la circunferencia, debe satisfacer la ecuación. Sustituyendo \(x = 5\) y \(y = 4\) en la ecuación:
\[
(5 - h)^2 + 4^2 = 25
\]
\[
(5 - h)^2 + 16 = 25
\]
\[
(5 - h)^2 = 9
\]
\[
5 - h = \pm 3
\]
Resolviendo para \(h\):
\[
h = 5 - 3 = 2 \quad \text{(solución 1)}
\]
\[
h = 5 + 3 = 8 \quad \text{(solución 2)}
\]

### 3. **Ecuaciones de las circunferencias**
Esto nos da dos posibles circunferencias:

1. **Si \(h = 2\):**
   \[
   (x - 2)^2 + y^2 = 25
   \]

2. **Si \(h = 8\):**
   \[
   (x - 8)^2 + y^2 = 25
   \]

### 4. **Forma general**
Expandimos ambas ecuaciones para obtener la forma general:

1. **Para \(h = 2\):**
   \[
   x^2 - 4x + 4 + y^2 = 25
   \]
   \[
   x^2 + y^2 - 4x - 21 = 0
   \]

2. **Para \(h = 8\):**
   \[
   x^2 - 16x + 64 + y^2 = 25
   \]
   \[
   x^2 + y^2 - 16x + 39 = 0
   \]

Por lo tanto, las dos posibles ecuaciones generales de la circunferencia son:

\[
\boxed{x^2 + y^2 - 4x - 21 = 0 \quad \text{y} \quad x^2 + y^2 - 16x + 39 = 0}
\]

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

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**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Cómo se determina el centro de una circunferencia a partir de su ecuación general?
2. ¿Qué otras formas de ecuaciones de circunferencias existen?
3. ¿Cómo se verifica si un punto pertenece a una circunferencia?
4. ¿Cómo influye el radio en la ecuación de una circunferencia?
5. ¿Cómo se determina el diámetro de una circunferencia dada su ecuación general?

**Tip:** Recuerda que cualquier circunferencia puede expresarse en su forma general y desde ahí deducir características como su centro y radio.

Explore how to find the general equation of a circle with radius 5 and center on the X-axis, containing point P(5, 4). This problem involves coordinate geometry concepts, including the equation of a circle and solving equations with given conditions. Suitable for Grades 9-12 students.

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