Para encontrar la derivada de la función dada, \( y = \frac{\ln(x^4 - \sqrt{x} + 1)}{e^{5x}} \), utilizaremos la regla del cociente, la regla de la cadena, y la derivada de la función logarítmica natural.

### Paso 1: Identificar las funciones

Sea:
- \( u(x) = \ln(x^4 - \sqrt{x} + 1) \)
- \( v(x) = e^{5x} \)

La función \( y \) se puede expresar como:
\[
y = \frac{u(x)}{v(x)}
\]

### Paso 2: Derivar usando la regla del cociente

La regla del cociente establece que si \( y = \frac{u(x)}{v(x)} \), entonces:
\[
y' = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{[v(x)]^2}
\]

### Paso 3: Calcular \( u'(x) \) y \( v'(x) \)

#### Derivada de \( u(x) = \ln(x^4 - \sqrt{x} + 1) \):

Usamos la regla de la cadena:
\[
u'(x) = \frac{1}{x^4 - \sqrt{x} + 1} \cdot \left( \frac{d}{dx} \left( x^4 - \sqrt{x} + 1 \right) \right)
\]

Ahora derivamos la función dentro del logaritmo:
\[
\frac{d}{dx} \left( x^4 - \sqrt{x} + 1 \right) = 4x^3 - \frac{1}{2\sqrt{x}}
\]

Por lo tanto:
\[
u'(x) = \frac{4x^3 - \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x^4 - \sqrt{x} + 1}
\]

#### Derivada de \( v(x) = e^{5x} \):

Aplicamos la regla de la cadena:
\[
v'(x) = 5e^{5x}
\]

### Paso 4: Sustituir y simplificar

Sustituimos \( u'(x) \), \( u(x) \), \( v'(x) \), y \( v(x) \) en la regla del cociente:
\[
y' = \frac{\left( \frac{4x^3 - \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x^4 - \sqrt{x} + 1} \right) e^{5x} - \ln(x^4 - \sqrt{x} + 1) \cdot 5e^{5x}}{\left(e^{5x}\right)^2}
\]

Simplificamos:
\[
y' = \frac{e^{5x} \left( \frac{4x^3 - \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x^4 - \sqrt{x} + 1} - 5\ln(x^4 - \sqrt{x} + 1) \right)}{e^{10x}}
\]

Esto se simplifica aún más a:
\[
y' = \frac{4x^3 - \frac{1}{2\sqrt{x}}}{e^{5x}(x^4 - \sqrt{x} + 1)} - \frac{5\ln(x^4 - \sqrt{x} + 1)}{e^{5x}}
\]

Esta es la derivada de la función dada.

**¿Tienes alguna pregunta o necesitas más detalles?**

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se simplifica la expresión de la derivada para valores específicos de \( x \)?
2. ¿Qué ocurre con la derivada cuando \( x \) tiende a infinito?
3. ¿Cuál sería la derivada de la función si \( y \) estuviera multiplicada por una constante?
4. ¿Cómo cambiaría la derivada si en lugar de \( e^{5x} \) estuviera \( e^{3x} \) en el denominador?
5. ¿Qué pasa si aplicamos la segunda derivada a la función \( y(x) \)?

**Tip:** Al trabajar con logaritmos y exponentes en derivadas, la regla de la cadena es clave para simplificar el proceso y evitar errores.

Learn how to find the derivative of the function ln(x^4 - sqrt(x) + 1) / e^(5x) step-by-step. This problem involves applying the quotient rule, chain rule, and derivatives of natural logarithms and exponential functions. Suitable for undergraduate students studying calculus.

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