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Encuentra el centroide de la figura compuesta, tomando como base los ejes especificados

Para encontrar el centroide de la figura compuesta, primero debemos dividir la figura en formas simples cuya área y centroides sean más fáciles de calcular. En este caso, la figura se puede dividir en un rectángulo y un triángulo.

### Paso 1: Definir las formas simples
1. **Rectángulo:**
   - Base: 21 in
   - Altura: 15 in

2. **Triángulo:**
   - Base: 12 in
   - Altura: 15 in

### Paso 2: Calcular las áreas de cada forma
1. **Área del rectángulo:**
   \[
   A_{\text{rect}} = \text{Base} \times \text{Altura} = 21 \, \text{in} \times 15 \, \text{in} = 315 \, \text{in}^2
   \]

2. **Área del triángulo:**
   \[
   A_{\text{tri}} = \frac{1}{2} \times \text{Base} \times \text{Altura} = \frac{1}{2} \times 12 \, \text{in} \times 15 \, \text{in} = 90 \, \text{in}^2
   \]

### Paso 3: Encontrar las coordenadas del centroide de cada forma
1. **Centroide del rectángulo:**
   - Coordenadas: \( C_{\text{rect}} (x_{\text{rect}}, y_{\text{rect}}) \)
   - \( x_{\text{rect}} = \frac{21}{2} = 10.5 \, \text{in} \)
   - \( y_{\text{rect}} = \frac{15}{2} = 7.5 \, \text{in} \)

2. **Centroide del triángulo:**
   - Coordenadas: \( C_{\text{tri}} (x_{\text{tri}}, y_{\text{tri}}) \)
   - \( x_{\text{tri}} = \frac{12}{3} = 4 \, \text{in} \)
   - \( y_{\text{tri}} = \frac{15}{3} = 5 \, \text{in} \)

### Paso 4: Calcular el centroide total de la figura compuesta

Para encontrar el centroide de la figura compuesta, utilizamos la fórmula del centroide para sistemas compuestos:
\[
\bar{x} = \frac{\sum (A_i \cdot x_i)}{\sum A_i} \quad \text{y} \quad \bar{y} = \frac{\sum (A_i \cdot y_i)}{\sum A_i}
\]

- **Coordenada \( \bar{x} \):**
  \[
  \bar{x} = \frac{(A_{\text{rect}} \cdot x_{\text{rect}}) + (A_{\text{tri}} \cdot x_{\text{tri}})}{A_{\text{rect}} + A_{\text{tri}}} = \frac{(315 \, \text{in}^2 \cdot 10.5 \, \text{in}) + (90 \, \text{in}^2 \cdot 4 \, \text{in})}{315 \, \text{in}^2 + 90 \, \text{in}^2}
  \]

- **Coordenada \( \bar{y} \):**
  \[
  \bar{y} = \frac{(A_{\text{rect}} \cdot y_{\text{rect}}) + (A_{\text{tri}} \cdot y_{\text{tri}})}{A_{\text{rect}} + A_{\text{tri}}} = \frac{(315 \, \text{in}^2 \cdot 7.5 \, \text{in}) + (90 \, \text{in}^2 \cdot 5 \, \text{in})}{315 \, \text{in}^2 + 90 \, \text{in}^2}
  \]

Ahora, realizaré los cálculos.El centroide de la figura compuesta se encuentra en las coordenadas \((\bar{x}, \bar{y}) = (9.06 \, \text{in}, 6.94 \, \text{in})\).

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta sobre este proceso? 

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula el centroide de una figura simétrica?
2. ¿Qué ocurre con el centroide si las áreas de las figuras simples fueran iguales?
3. ¿Cómo cambia el centroide si el triángulo se desplazara horizontalmente?
4. ¿Cómo afecta la orientación de las figuras al cálculo del centroide?
5. ¿Qué importancia tiene el centroide en el diseño estructural?
6. ¿Cómo se calcula el centroide para figuras con curvas?
7. ¿Cómo afecta el material al cálculo del centroide?
8. ¿Qué es un centroide en el contexto de un cuerpo tridimensional?

**Tip:** El cálculo del centroide es especialmente importante en la ingeniería para determinar puntos de equilibrio y en el análisis de estructuras.

Learn how to find the centroid of a composite figure by breaking it down into simpler shapes like rectangles and triangles. This problem involves calculating areas and centroids using geometric formulas and coordinate geometry principles. Suitable for high school students.

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