 Résoudre les équations différentielles du premier ordre suivantes :  񑦢2 +ln(2).񑦠= 0 񑦢2 = 񑦠4 +3 2 Exercice 19 񑎽ѣ񑒽ѐ 񑦨0) = 4 

La résolution d'une équation différentielle du premier ordre suit une méthode spécifique selon le type d'équation donnée. Malheureusement, dans votre question, certains caractères ne sont pas clairement définis. Je vais donc reformuler les étapes possibles, en supposant que vous parlez d'une équation différentielle de forme générale.

### Hypothèse sur l'équation :

1. Vous semblez avoir une forme \(\frac{dy}{dx} = \ldots\), mais il faudrait des clarifications sur les termes manquants. Par exemple :

- Si vous avez une équation avec un logarithme : \( \frac{dy}{dx} + \ln(2) = 0 \)
- Ou une autre équation : \( \frac{dy}{dx} = x^4 + 3 \), avec une condition initiale \( y(0) = 4 \).

#### Résolution d'une équation du type :
\[
\frac{dy}{dx} + \ln(2) = 0
\]
1. **Isoler \(\frac{dy}{dx}\)** :
   \[
   \frac{dy}{dx} = -\ln(2)
   \]

2. **Intégration** :
   \[
   y(x) = -\ln(2) \cdot x + C
   \]
   où \(C\) est une constante d'intégration.

3. **Condition initiale** :
   Si vous avez une condition comme \(y(0) = 4\), cela permet de déterminer \(C\) :
   \[
   4 = -\ln(2) \cdot 0 + C \Rightarrow C = 4
   \]

   Donc, la solution finale est :
   \[
   y(x) = -\ln(2) \cdot x + 4
   \]

#### Résolution de la seconde équation :
\[
\frac{dy}{dx} = x^4 + 3
\]
1. **Intégration directe** :
   \[
   y(x) = \int (x^4 + 3) dx = \frac{x^5}{5} + 3x + C
   \]

2. **Condition initiale \( y(0) = 4 \)** :
   \[
   4 = \frac{0^5}{5} + 3 \cdot 0 + C \Rightarrow C = 4
   \]

   La solution est donc :
   \[
   y(x) = \frac{x^5}{5} + 3x + 4
   \]

### Résumé des solutions :

1. Pour l'équation \( \frac{dy}{dx} + \ln(2) = 0 \), la solution est \( y(x) = -\ln(2) \cdot x + 4 \).
2. Pour l'équation \( \frac{dy}{dx} = x^4 + 3 \), la solution est \( y(x) = \frac{x^5}{5} + 3x + 4 \).

---

Si vous avez des précisions à apporter, je peux ajuster les calculs !

### Questions supplémentaires :
1. Comprenez-vous comment intégrer des fonctions polynomiales ?
2. Souhaitez-vous voir plus de détails sur les conditions initiales ?
3. Voulez-vous résoudre des équations différentielles avec des fonctions trigonométriques ?
4. Avez-vous des exemples d'équations différentielles exactes à résoudre ?
5. Avez-vous besoin d'aide pour comprendre les solutions particulières et générales ?

### Astuce :
Pour vérifier la solution d'une équation différentielle, vous pouvez toujours dériver la solution obtenue et vérifier si elle satisfait bien l'équation originale.

Résoudre les équations différentielles du premier ordre suivantes :  񑦢2 +ln(2).񑦠= 0  񑦢2 = 񑦠4 +3 2 Exercice 19 񑎽ѣ񑒽ѐ  񑦨0) = 4

This solution walks through the process of solving two first-order differential equations: one involving logarithmic functions and another polynomial function. Includes detailed integration steps and applying initial conditions. Ideal for advanced high school or undergraduate students.

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