MÉTODOS DE ECUACIONES NO LINEALES 
En cada uno de los ejercicios aplicar los métodos (Bisección, Falsa Posición, Secante, 
Newton Raphson, Punto Fijo) para cada caso usar margen de error 𝑒 = 0.005 
1. En un cultivo, al cabo de 𝑥 horas la una población de bacterias alcanza una cantidad de 
100.000. 
�
�(𝑥) = 10𝑥(1+log⁡(𝑥2 +1)) 
Hallar el instante en que la población se extermina  
2. La función de beneficios por la venta de productos de una empresa viene representada  
por 𝐵(𝑥) = 𝑥3 −8𝑥2 +20𝑥 donde 𝑥 representa miles de unidades de producto. Hallar 
la cantidad de productos vendidos para la cual no se tiene saldo a favor. 
3. Resolver: 𝑥3 + 4𝑥2 − 6 = 0                 
4. Resolver 𝑓(𝑥) = 1
 2
 (𝑥 +4
 𝑥
 ) 
5. Resolver 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 5𝑥 −2 
5. Resolver   𝑓(𝑥) =ln(𝑥2 + 1)-𝑒𝑥
 2
 cos(𝜋𝑥) 
5. Resolver   𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝑥) +1

Los métodos numéricos para la resolución de ecuaciones no lineales son herramientas fundamentales en la matemática aplicada. A continuación, abordaremos cómo aplicar los métodos de **Bisección**, **Falsa Posición**, **Secante**, **Newton-Raphson**, y **Punto Fijo** a cada uno de los problemas planteados, con un margen de error \( e = 0.005 \).

### 1. Ecuación de la población bacteriana:

La ecuación a resolver es:

\[
f(x) = 10x(1 + \log(x^2 + 1)) - 100,000 = 0
\]

Queremos hallar el valor de \(x\) (tiempo en horas) donde la población de bacterias se extermina, es decir, donde la población alcanza los 100,000.

- **Métodos a aplicar**: Bisección, Falsa Posición, Secante, Newton-Raphson y Punto Fijo.

### 2. Función de beneficios:

La función de beneficios está dada por:

\[
B(x) = x^3 - 8x^2 + 20x
\]

Deseamos encontrar el valor de \( x \) (miles de unidades de producto) donde la empresa no tiene saldo a favor, es decir, cuando los beneficios son nulos:

\[
B(x) = 0
\]

- **Métodos a aplicar**: Bisección, Falsa Posición, Secante, Newton-Raphson y Punto Fijo.

### 3. Resolver \( x^3 + 4x^2 - 6 = 0 \):

Esta es una ecuación cúbica que se puede resolver numéricamente. Se busca el valor de \(x\) que satisface la ecuación.

\[
f(x) = x^3 + 4x^2 - 6 = 0
\]

- **Métodos a aplicar**: Bisección, Falsa Posición, Secante, Newton-Raphson y Punto Fijo.

### 4. Resolver \( f(x) = \frac{1}{2}\left(x + \frac{4}{x}\right) \):

Esta es una ecuación que involucra una relación no lineal entre \(x\). Se debe encontrar el valor de \(x\) que satisface esta ecuación.

- **Métodos a aplicar**: Bisección, Falsa Posición, Secante, Newton-Raphson y Punto Fijo.

### 5. Resolver \( f(x) = x^3 - 5x - 2 = 0 \):

Esta es otra ecuación cúbica que se puede resolver con los métodos numéricos.

- **Métodos a aplicar**: Bisección, Falsa Posición, Secante, Newton-Raphson y Punto Fijo.

### 6. Resolver \( f(x) = \ln(x^2 + 1) - e^x\cos(\pi x) = 0 \):

Esta es una ecuación más compleja que involucra funciones logarítmicas y exponenciales. El objetivo es encontrar el valor de \(x\) que satisface la ecuación.

- **Métodos a aplicar**: Bisección, Falsa Posición, Secante, Newton-Raphson y Punto Fijo.

### 7. Resolver \( f(x) = \sin(x) - \csc(x) + 1 = 0 \):

Se trata de una ecuación trigonométrica no lineal donde buscamos el valor de \(x\) que la hace verdadera.

- **Métodos a aplicar**: Bisección, Falsa Posición, Secante, Newton-Raphson y Punto Fijo.

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### Aplicación de los métodos

1. **Bisección**: Este método requiere un intervalo inicial \([a, b]\) tal que \(f(a)f(b) < 0\). Luego se calcula el punto medio y se evalúa la función, refinando el intervalo hasta que el error sea menor que el límite dado.

2. **Falsa Posición (Regula Falsi)**: Similar a la Bisección, pero en lugar de tomar el punto medio del intervalo, se utiliza una interpolación lineal para encontrar un mejor punto candidato.

3. **Método de la Secante**: Este método utiliza dos puntos cercanos y realiza una interpolación lineal para encontrar la raíz.

4. **Newton-Raphson**: Se requiere la derivada de la función. A partir de un valor inicial, se realiza la iteración \( x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \).

5. **Punto Fijo**: Se reorganiza la ecuación en la forma \( x = g(x) \) y se realizan iteraciones sucesivas \( x_{n+1} = g(x_n) \).

### ¿Te gustaría aplicar estos métodos a alguno de los problemas específicos? Puedo ayudarte a resolverlos paso a paso.

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### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cuál es la diferencia entre los métodos de bisección y falsa posición?
2. ¿Cómo se puede estimar el error en el método de Newton-Raphson?
3. ¿Cuándo es recomendable utilizar el método de la secante en lugar del de Newton-Raphson?
4. ¿Qué condiciones deben cumplirse para aplicar el método del punto fijo?
5. ¿Cómo afecta el valor inicial en la convergencia de los métodos numéricos?

### Tip: En el método de Newton-Raphson, si la derivada de la función es muy pequeña cerca de la raíz, el método puede fallar en converger.

MÉTODOS DE ECUACIONES NO LINEALES
En cada uno de los ejercicios aplicar los métodos (Bisección, Falsa Posición, Secante, Newton Raphson, Punto Fijo) para cada caso usar margen de error e = 0.005
1. En un cultivo, al cabo de x horas la una población de bacterias alcanza una cantidad de 100.000.
 f(x) = 10x(1+log(x^2 +1))
Hallar el instante en que la población se extermina
2. La función de beneficios por la venta de productos de una empresa viene representada por B(x) = x^3 −8x^2 +20x donde x representa miles de unidades de producto. Hallar la cantidad de productos vendidos para la cual no se tiene saldo a favor.
3. Resolver: x^3 + 4x^2 − 6 = 0
4. Resolver f(x) = (1/2)(x + 4/x)
5. Resolver f(x) = x^3 − 5x − 2
6. Resolver f(x) = ln(x^2 + 1) - e^x cos(πx)
7. Resolver f(x) = sen(x) − cosec(x) +1

Solve a variety of nonlinear equations using methods like Bisection, Falsa Posición, Secant, Newton-Raphson, and Fixed-Point Iteration. Learn how to apply these methods step-by-step with error margin e = 0.005 to problems involving population dynamics, company profit functions, and more. Suitable for advanced calculus or numerical analysis students.

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