En 1940 la población de la ciudad de Loreto era de 100 000 habitantes. En 1970 había
140 000 habitantes. Asumamos que el número de habitantes en función del tiempo se ajusta a la fórmula:
P(t) = 𝐴0
. ⅇ
𝒌𝑻, donde 𝐀𝐨 𝐲 𝐤 𝐬𝐨𝐧 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭ⅇ𝐬:
Ao: Es la población inicial
T: Es el número de años transcurridos del año
base al año proyectado.
¿Cuál fue la población en 2000?

La fórmula para el crecimiento exponencial de la población es:

\[
P(T) = A_0 \cdot e^{kT}
\]

donde:

- \( A_0 \) es la población inicial en el año base (1940),
- \( k \) es la tasa de crecimiento,
- \( T \) es el número de años transcurridos desde el año base,
- \( P(T) \) es la población en el año \( T \).

### Paso 1: Determinar los valores de \( A_0 \) y \( T \)

Sabemos que en 1940 (año base), la población era de 100,000 habitantes, así que \( A_0 = 100,000 \).

En 1970, es decir, 30 años después (cuando \( T = 30 \)), la población era de 140,000 habitantes, así que:

\[
P(30) = 140,000
\]

Ahora, sustituimos estos valores en la ecuación:

\[
140,000 = 100,000 \cdot e^{30k}
\]

### Paso 2: Resolver para \( k \)

Dividimos ambos lados de la ecuación por 100,000:

\[
1.4 = e^{30k}
\]

Tomamos el logaritmo natural en ambos lados:

\[
\ln(1.4) = 30k
\]

Calculamos \( \ln(1.4) \):

\[
\ln(1.4) \approx 0.3365
\]

Por lo tanto:

\[
0.3365 = 30k
\]

\[
k = \frac{0.3365}{30} \approx 0.0112
\]

### Paso 3: Calcular la población en el año 2000

Para el año 2000, han transcurrido 60 años desde 1940, por lo que \( T = 60 \).

Sustituimos \( T = 60 \), \( A_0 = 100,000 \), y \( k = 0.0112 \) en la fórmula:

\[
P(60) = 100,000 \cdot e^{0.0112 \cdot 60}
\]

Calculamos el exponente:

\[
0.0112 \cdot 60 = 0.672
\]

Ahora calculamos \( e^{0.672} \):

\[
e^{0.672} \approx 1.958
\]

Finalmente, calculamos la población:

\[
P(60) = 100,000 \cdot 1.958 = 195,800
\]

### Resultado:

La población de Loreto en el año 2000 fue de aproximadamente **195,800 habitantes**.

¿Te gustaría que ampliara más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo afecta el valor de \( k \) al crecimiento poblacional?
2. ¿Cómo se comportaría la población si \( k \) fuera negativo?
3. ¿Qué pasa con la población si el valor de \( A_0 \) es más grande o más pequeño?
4. ¿Qué otras fórmulas se pueden usar para modelar el crecimiento poblacional?
5. ¿Cómo podríamos proyectar la población para años más allá de 2000?

**Tip:** Al trabajar con crecimiento exponencial, los pequeños cambios en la tasa \( k \) pueden tener un gran impacto en el largo plazo.

En 1940 la población de la ciudad de Loreto era de 100 000 habitantes. En 1970 había 140 000 habitantes. Asumamos que el número de habitantes en función del tiempo se ajusta a la fórmula: P(t) = A0 . e^kT, donde A0 y k son constantes: Ao: Es la población inicial T: Es el número de años transcurridos del año base al año proyectado. ¿Cuál fue la población en 2000?

Learn how to calculate the population of Loreto in the year 2000 using exponential growth formulas. Starting with 100,000 inhabitants in 1940, and 140,000 in 1970, we use key mathematical concepts such as logarithms and exponential equations to project the population to approximately 195,800 by 2000. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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