( f\left(-\frac{1}{4}\right) = 2\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right) + 6 = 2\left(\frac{1}{16}\right) - \frac{1}{4} + 6 = \frac{2}{16} - \frac{4}{16} + 6 = \frac{-2}{16} + 6 = -\frac{1}{8} + 6 = 5.875 ) con simbolos

Entiendo que prefieres que la solución esté más detallada con los símbolos matemáticos. Vamos a reescribir el cálculo de $ f\left(-\frac{1}{4}\right) $ con los símbolos adecuados.

Dada la función $ f(x) = 2x^2 + x + 6 $:

Para encontrar el vértice de la parábola, utilizamos la fórmula $ x = -\frac{b}{2a} $:

\[ x = -\frac{1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4} \]

Ahora, evaluamos la función en $ x = -\frac{1}{4} $:

\[ f\left(-\frac{1}{4}\right) = 2\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right) + 6 \]

Calculamos cada término:

\[ 2\left(-\frac{1}{4}\right)^2 = 2\left(\frac{1}{16}\right) = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} \]

\[ -\frac{1}{4} = -\frac{2}{8} \]

Sumamos todos los términos:

\[ f\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} + 6 = -\frac{1}{8} + 6 \]

Convertimos $ 6 $ a fracciones con denominador 8:

\[ 6 = \frac{48}{8} \]

Finalmente, sumamos:

\[ f\left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{8} + \frac{48}{8} = \frac{47}{8} = 5.875 \]

Así que, evaluando $ f \left( -\frac{1}{4} \right) $ correctamente, obtenemos $ 5.875 $.

Voy a graficar la función de nuevo usando esta información.

### Gráfica de la función $ f(x) = 2x^2 + x + 6 $

Voy a crear la gráfica de la función:

```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Definición de la función
def f(x):
    return 2*x**2 + x + 6

# Intervalo de x
x = np.linspace(-3, 8, 400)
y = f(x)

# Puntos críticos
x_critical = np.array([-3, 8, -1/4])
y_critical = f(x_critical)

# Graficar la función
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, y, label='$f(x) = 2x^2 + x + 6$')
plt.scatter(x_critical, y_critical, color='red')  # Puntos críticos
plt.annotate('(-3, 21)', (-3, 21), textcoords="offset points", xytext=(0,10), ha='center')
plt.annotate('(8, 142)', (8, 142), textcoords="offset points", xytext=(0,10), ha='center')
plt.annotate('(-1/4, 5.875)', (-1/4, 5.875), textcoords="offset points", xytext=(0,10), ha='center')

plt.xlim([-3.5, 8.5])
plt.ylim([0, 150])
plt.title('Gráfica de $f(x) = 2x^2 + x + 6$ en el intervalo $[-3, 8]$')
plt.xlabel('$x$')
plt.ylabel('$f(x)$')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
```

¿Hay algún otro detalle específico que te gustaría agregar o alguna otra pregunta que tengas? 

Aquí tienes algunas preguntas que podrías considerar:

1. ¿Cómo afecta el coeficiente de $x^2$ a la concavidad de la parábola?
2. ¿Qué importancia tiene el vértice en la gráfica de una parábola?
3. ¿Cómo se determina el punto de intersección con el eje y de una función cuadrática?
4. ¿Por qué se utiliza la forma canónica de una parábola para encontrar el vértice?
5. ¿Qué otros métodos existen para encontrar el rango de una función cuadrática?

**Tip:** Siempre verifica los cálculos paso a paso para evitar errores y asegurar la precisión, especialmente cuando se trabaja con fracciones y raíces cuadradas.

Learn how to evaluate the quadratic function f(x) = 2x^2 + x + 6 at x = -1/4 step-by-step. This problem involves using the quadratic formula and finding the vertex of a parabola. Suitable for high school students studying quadratic equations.

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