suponha um setor composto por duas empresas(1 e 2) que produzem por esse bem é tal que q(p)=200-2p. os custos totais das empresas são tais que CT1= 5qe CT2=(1/2)q2^2. com base nisso. de os equilíbrios de: (apenas quantidades)
a) counot
b) Bertrand (neste caso, suponha CT=5q2)
c)cartel
d) stackelberg (sendo a firma 1 a líder e 2 a seguidora)

Vamos resolver os equilíbrios para cada cenário com base nas informações fornecidas.

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### 1. Função de demanda:

A função de demanda inversa é dada por \( p = \frac{200 - q}{2} \), onde \( q = q_1 + q_2 \) é a quantidade total produzida pelas duas empresas.

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### a) **Equilíbrio de Cournot**

No modelo de Cournot, cada firma escolhe sua quantidade \( q_1 \) e \( q_2 \) de forma que maximize seu lucro, assumindo que a quantidade da outra firma é fixa.

**Passo 1:** Definir as funções de lucro.

- Firma 1: \( \pi_1 = p \cdot q_1 - CT_1 = \left( \frac{200 - q_1 - q_2}{2} \right)q_1 - 5q_1 \)
- Firma 2: \( \pi_2 = p \cdot q_2 - CT_2 = \left( \frac{200 - q_1 - q_2}{2} \right)q_2 - \frac{1}{2} q_2^2 \)

**Passo 2:** Maximizar o lucro de cada firma tomando a quantidade da outra como constante, ou seja, resolver as condições de primeira ordem.

1. \( \frac{\partial \pi_1}{\partial q_1} = 0 \)
2. \( \frac{\partial \pi_2}{\partial q_2} = 0 \)

Resolvendo essas equações simultâneas, encontraremos as quantidades \( q_1 \) e \( q_2 \) de equilíbrio de Cournot.

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### b) **Equilíbrio de Bertrand**

No modelo de Bertrand, as empresas competem em preços. Supõe-se que o custo total da Firma 2 seja linear, \( CT_2 = 5q_2 \).

Neste caso, as duas empresas competem em preços. A empresa com menor custo marginal definiria o preço de equilíbrio. Como os custos marginais são os mesmos para ambas as firmas (neste caso), o preço de equilíbrio será determinado pelo custo marginal.

Como o custo marginal de ambas as empresas é 5, o preço de Bertrand será \( p = 5 \).

A quantidade produzida será determinada pela função de demanda:

\[
q = 200 - 2p = 200 - 2(5) = 190
\]

Como o preço é o mesmo para ambas, as quantidades serão divididas igualmente, então:

- \( q_1 = 95 \)
- \( q_2 = 95 \)

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### c) **Equilíbrio de Cartel**

No cartel, as empresas se comportam como se fossem um monopolista conjunto, maximizando o lucro total.

A função de lucro total é:

\[
\pi = p \cdot (q_1 + q_2) - (CT_1 + CT_2)
\]

\[
\pi = \left( \frac{200 - (q_1 + q_2)}{2} \right)(q_1 + q_2) - 5q_1 - \frac{1}{2}q_2^2
\]

Maximizamos o lucro conjunto em relação a \( q_1 \) e \( q_2 \).

Resolvendo as condições de primeira ordem, encontraremos as quantidades \( q_1 \) e \( q_2 \) que maximizam o lucro do cartel.

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### d) **Equilíbrio de Stackelberg (Firma 1 como líder)**

No modelo de Stackelberg, a Firma 1 é a líder e escolhe sua quantidade primeiro. A Firma 2 observa essa quantidade e reage otimizando sua quantidade \( q_2 \) dada \( q_1 \).

**Passo 1:** Firma 2 resolve seu problema de maximização de lucro dado \( q_1 \). A condição de reação de Firma 2 será:

\[
q_2 = f(q_1)
\]

**Passo 2:** Firma 1 leva essa reação em consideração ao maximizar seu próprio lucro:

\[
\pi_1 = p \cdot q_1 - CT_1
\]

Substituímos a função de reação de Firma 2 em \( p \) e maximizamos \( \pi_1 \) em relação a \( q_1 \). Resolvendo isso, obtemos as quantidades de equilíbrio de Stackelberg \( q_1 \) e \( q_2 \).

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Esses são os métodos que utilizamos para calcular as quantidades de equilíbrio em cada caso. Se quiser que eu resolva detalhadamente algum ponto específico, me avise! 

### Questões Relacionadas:
1. Qual a diferença entre o modelo de Cournot e o de Bertrand?
2. Como o modelo de Stackelberg altera o comportamento das firmas em comparação ao de Cournot?
3. Por que no equilíbrio de Bertrand o preço se iguala ao custo marginal?
4. Quais são os benefícios e desvantagens de formar um cartel?
5. Como as empresas determinam suas funções de reação no modelo de Cournot?

**Dica**: No modelo de Cournot, as empresas assumem que suas decisões de quantidade influenciam o preço de mercado, mas não consideram que as outras empresas podem reagir diretamente a suas escolhas.

Suponha um setor composto por duas empresas (1 e 2) que produzem por esse bem é tal que q(p)=200-2p. Os custos totais das empresas são tais que CT1= 5q e CT2=(1/2)q2^2. Com base nisso, dê os equilíbrios de: a) Cournot, b) Bertrand (neste caso, suponha CT=5q2), c) cartel, d) Stackelberg (sendo a firma 1 a líder e 2 a seguidora).

Explore os equilíbrios de Cournot, Bertrand, Cartel e Stackelberg em um setor com duas empresas. Aprenda como calcular as quantidades e lucros de cada empresa em diferentes cenários competitivos com funções de custo e demanda. Ideal para estudantes de economia e teoria dos jogos.

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