Un ingeniero en un plano tridimensional tiene 3 puntos cuyas coordenadas son: A(1,0,3); B (3,5,1); C(0,2,1). Analiza de que manera se puede determinar la ecuación del plano que pasa por los tres puntos y usando un Software libre graficar los puntos en R3con el respectivo plano que los contiene.

Para determinar la ecuación de un plano en el espacio tridimensional (\( \mathbb{R}^3 \)) que pasa por tres puntos, primero necesitamos usar las coordenadas de esos puntos. En este caso, tenemos los puntos \( A(1, 0, 3) \), \( B(3, 5, 1) \), y \( C(0, 2, 1) \).

### Pasos para determinar la ecuación del plano:

1. **Encontrar dos vectores en el plano**: 

   Se deben formar dos vectores a partir de los puntos dados, por ejemplo:
   \[
   \vec{AB} = B - A = (3 - 1, 5 - 0, 1 - 3) = (2, 5, -2)
   \]
   \[
   \vec{AC} = C - A = (0 - 1, 2 - 0, 1 - 3) = (-1, 2, -2)
   \]

2. **Calcular el producto cruzado de los vectores**:
   
   El producto cruzado de estos vectores nos dará un vector normal \( \vec{n} \) al plano. El vector normal es perpendicular al plano y tiene la forma \( \vec{n} = (A, B, C) \), donde \( A \), \( B \) y \( C \) son los coeficientes de la ecuación del plano \( Ax + By + Cz + D = 0 \).

   El producto cruzado se calcula así:
   \[
   \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = 
   \begin{vmatrix}
   \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
   2 & 5 & -2 \\
   -1 & 2 & -2 \\
   \end{vmatrix}
   \]
   Resolviendo el determinante:
   \[
   \vec{n} = (5(-2) - 2(-2)) \hat{i} - (2(-2) - (-2)(-1)) \hat{j} + (2(2) - 5(-1)) \hat{k}
   \]
   \[
   \vec{n} = (-10 + 4) \hat{i} - (-4 - 2) \hat{j} + (4 + 5) \hat{k}
   \]
   \[
   \vec{n} = (-6, 6, 9)
   \]

   Así, el vector normal es \( \vec{n} = (-6, 6, 9) \), lo que nos da los coeficientes del plano: \( A = -6 \), \( B = 6 \), y \( C = 9 \).

3. **Sustituir un punto para encontrar \( D \)**:

   Usamos uno de los puntos dados (por ejemplo, el punto \( A(1, 0, 3) \)) para hallar el valor de \( D \). La ecuación general del plano es \( -6x + 6y + 9z + D = 0 \). Sustituyendo \( A(1, 0, 3) \):
   \[
   -6(1) + 6(0) + 9(3) + D = 0
   \]
   \[
   -6 + 0 + 27 + D = 0
   \]
   \[
   D = -21
   \]

   Entonces, la ecuación del plano es:
   \[
   -6x + 6y + 9z - 21 = 0
   \]
   Simplificando:
   \[
   2x - 2y - 3z + 7 = 0
   \]
   Esta es la ecuación del plano que pasa por los puntos \( A \), \( B \) y \( C \).

### Graficar los puntos y el plano en software libre:

Una excelente opción de software libre para graficar en \( \mathbb{R}^3 \) es **GeoGebra**. A continuación te explico cómo hacerlo:

1. Abre **GeoGebra** y selecciona la opción de 3D.
2. Ingresa los puntos \( A(1, 0, 3) \), \( B(3, 5, 1) \), y \( C(0, 2, 1) \).
3. En la barra de entrada, escribe la ecuación del plano: `2x - 2y - 3z + 7 = 0`.
4. Observa la representación gráfica de los puntos y el plano.

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se puede verificar que un punto adicional también pertenece a este plano?
2. ¿Qué relación existe entre el producto cruzado y el vector normal al plano?
3. ¿Cómo cambiaría la ecuación del plano si uno de los puntos se desplazara?
4. ¿Qué diferencias hay entre los métodos algebraicos y gráficos para encontrar un plano?
5. ¿Cómo se puede extender este proceso a cuatro puntos para un volumen en \( \mathbb{R}^4 \)?

**Tip**: En el cálculo del producto cruzado, asegúrate de seguir bien las reglas de los determinantes para obtener el vector correcto.

Un ingeniero en un plano tridimensional tiene 3 puntos cuyas coordenadas son: A(1,0,3); B(3,5,1); C(0,2,1). Analiza de que manera se puede determinar la ecuación del plano que pasa por los tres puntos y usando un Software libre graficar los puntos en R3 con el respectivo plano que los contiene.

Discover how to calculate the equation of a plane passing through three points A(1,0,3), B(3,5,1), and C(0,2,1) using vector algebra. This detailed solution walks you through vector subtraction, the cross product, and how to graph the plane in GeoGebra. Ideal for university students or advanced high school learners.

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