Un ingeniero en un plano tridimensional tiene 3 puntos cuyas coordenadas son: A(1,0,3); B (3,5,1); C(0,2,1). Analiza de que manera se puede determinar la ecuación del plano que pasa por los tres puntos y usando un Software libre graficar los puntos en R3con el respectivo plano que los contiene.

Para determinar la ecuación del plano que pasa por tres puntos \( A(1,0,3) \), \( B(3,5,1) \), y \( C(0,2,1) \), debemos seguir los siguientes pasos:

### 1. Vectores de los puntos
Primero, hallamos dos vectores que se encuentren en el plano, utilizando las coordenadas de los puntos dados:

- El vector \( \overrightarrow{AB} \) es:
  \[
  \overrightarrow{AB} = B - A = (3-1, 5-0, 1-3) = (2, 5, -2)
  \]

- El vector \( \overrightarrow{AC} \) es:
  \[
  \overrightarrow{AC} = C - A = (0-1, 2-0, 1-3) = (-1, 2, -2)
  \]

### 2. Producto cruz para hallar el vector normal
El vector normal \( \mathbf{n} \) del plano se puede obtener como el producto cruz de los vectores \( \overrightarrow{AB} \) y \( \overrightarrow{AC} \):

\[
\mathbf{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}
\]

Calculamos el producto cruz:

\[
\mathbf{n} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & 5 & -2 \\
-1 & 2 & -2
\end{vmatrix}
= \mathbf{i} \left( \begin{vmatrix} 5 & -2 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} \right) - \mathbf{j} \left( \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} \right) + \mathbf{k} \left( \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \right)
\]

\[
\mathbf{n} = \mathbf{i} (5(-2) - (-2)(2)) - \mathbf{j} (2(-2) - (-1)(-2)) + \mathbf{k} (2(2) - (-1)(5))
\]

\[
\mathbf{n} = \mathbf{i}(-10 + 4) - \mathbf{j}(-4 - 2) + \mathbf{k}(4 + 5)
\]

\[
\mathbf{n} = \mathbf{i}(-6) - \mathbf{j}(-6) + \mathbf{k}(9)
\]

\[
\mathbf{n} = (-6, 6, 9)
\]

El vector normal del plano es \( \mathbf{n} = (-6, 6, 9) \).

### 3. Ecuación del plano
La ecuación general de un plano en \( \mathbb{R}^3 \) es de la forma:

\[
Ax + By + Cz + D = 0
\]

Donde \( (A, B, C) \) son las componentes del vector normal \( \mathbf{n} = (-6, 6, 9) \). Para encontrar \( D \), sustituimos las coordenadas de uno de los puntos, por ejemplo, \( A(1, 0, 3) \):

\[
-6(1) + 6(0) + 9(3) + D = 0
\]

\[
-6 + 27 + D = 0
\]

\[
D = -21
\]

Por lo tanto, la ecuación del plano es:

\[
-6x + 6y + 9z - 21 = 0
\]

O, simplificada:

\[
2x - 2y - 3z + 7 = 0
\]

### 4. Graficar en un software libre
Para graficar los puntos y el plano en \( \mathbb{R}^3 \), puedes usar un software libre como **GeoGebra** o **GNU Octave**. A continuación te doy un ejemplo de cómo hacerlo en GeoGebra:

- Abre GeoGebra.
- Usa el comando `Punto(1,0,3)`, `Punto(3,5,1)` y `Punto(0,2,1)` para graficar los puntos \( A \), \( B \) y \( C \).
- Para graficar el plano, puedes usar el comando `Plano(A,B,C)`, que dibujará el plano que pasa por los tres puntos.

### ¿Tienes alguna pregunta o te gustaría más detalles?

#### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se puede encontrar la ecuación del plano en forma paramétrica?
2. ¿Qué representa geométricamente el producto cruz de los dos vectores en este contexto?
3. ¿Qué otra forma existe para verificar que los tres puntos están en el mismo plano?
4. ¿Cómo se obtienen las intersecciones del plano con los ejes coordenados?
5. ¿Cómo podrías usar otros métodos, como determinantes, para encontrar la ecuación del plano?

#### Tip:
Siempre verifica que los tres puntos no sean colineales para asegurarte de que efectivamente forman un plano. Esto se puede hacer calculando el determinante del sistema

Un ingeniero en un plano tridimensional tiene 3 puntos cuyas coordenadas son: A(1,0,3); B (3,5,1); C(0,2,1). Analiza de que manera se puede determinar la ecuación del plano que pasa por los tres puntos y usando un Software libre graficar los puntos en R3 con el respectivo plano que los contiene.

Aprende cómo determinar la ecuación de un plano que pasa por los puntos A(1,0,3), B(3,5,1) y C(0,2,1) en un espacio tridimensional. Este problema incluye conceptos clave como el producto cruz de vectores y la ecuación del plano en R3. También se muestra cómo graficar los puntos y el plano utilizando software libre como GeoGebra. Nivel: Secundaria (Grados 10-12).

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