Capitalización Continua. Se hace una inversión de $2 millones, que gana “intereses” a una tasa 
de 8% anual. Si el interés se capitaliza continuamente: 
a) ¿Qué monto alcanzará la inversión si se invierte durante 10 años? 
b) ¿Cuánto tardará en aumentar en un 50%
c) ¿Cuánto tiempo pasará para que aumente en un 150%? 
d) ¿El rendimiento que se alcanza durante 25 años liquidado trimestralmente?

La capitalización continua es un proceso en el que los intereses se calculan y añaden al capital de forma continua. La fórmula que se usa para calcular el monto acumulado con capitalización continua es:

\[ A = P \cdot e^{rt} \]

Donde:
- $ A $ es el monto futuro (o acumulado) de la inversión.
- $ P $ es el capital inicial.
- $ r $ es la tasa de interés anual.
- $ t $ es el tiempo en años.
- $ e $ es la base del logaritmo natural (aproximadamente 2.71828).

Vamos a resolver cada una de las partes del problema.

### a) ¿Qué monto alcanzará la inversión si se invierte durante 10 años?

Dado:
- $ P = 2,000,000 $ (capital inicial)
- $ r = 0.08 $ (tasa de interés anual)
- $ t = 10 $ años

Aplicamos la fórmula:

\[ A = 2,000,000 \cdot e^{0.08 \cdot 10} \]

Calculamos el valor:

\[ A = 2,000,000 \cdot e^{0.8} \]

\[ A \approx 2,000,000 \cdot 2.22554 \]

\[ A \approx 4,451,080 \]

Entonces, el monto alcanzado después de 10 años será aproximadamente **$4,451,080**.

### b) ¿Cuánto tardará en aumentar en un 50%?

Queremos que el monto final sea un 50% mayor que el capital inicial:

\[ A = 2,000,000 \times 1.5 = 3,000,000 \]

Aplicamos la fórmula y despejamos $ t $:

\[ 3,000,000 = 2,000,000 \cdot e^{0.08 \cdot t} \]

Dividimos ambos lados por 2,000,000:

\[ 1.5 = e^{0.08 \cdot t} \]

Tomamos el logaritmo natural en ambos lados:

\[ \ln(1.5) = 0.08 \cdot t \]

\[ t = \frac{\ln(1.5)}{0.08} \]

Calculamos el valor:

\[ t \approx \frac{0.40547}{0.08} \]

\[ t \approx 5.068 \text{ años} \]

Entonces, tardará aproximadamente **5.07 años** en aumentar en un 50%.

### c) ¿Cuánto tiempo pasará para que aumente en un 150%?

Queremos que el monto final sea un 150% mayor que el capital inicial:

\[ A = 2,000,000 \times 2.5 = 5,000,000 \]

Aplicamos la fórmula y despejamos $ t $:

\[ 5,000,000 = 2,000,000 \cdot e^{0.08 \cdot t} \]

Dividimos ambos lados por 2,000,000:

\[ 2.5 = e^{0.08 \cdot t} \]

Tomamos el logaritmo natural en ambos lados:

\[ \ln(2.5) = 0.08 \cdot t \]

\[ t = \frac{\ln(2.5)}{0.08} \]

Calculamos el valor:

\[ t \approx \frac{0.91629}{0.08} \]

\[ t \approx 11.454 \text{ años} \]

Entonces, tardará aproximadamente **11.45 años** en aumentar en un 150%.

### d) ¿El rendimiento que se alcanza durante 25 años liquidado trimestralmente?

Si el interés se liquida trimestralmente, usamos la fórmula de capitalización compuesta:

\[ A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} \]

Donde:
- $ n = 4 $ (ya que hay 4 trimestres en un año)
- $ r = 0.08 $
- $ t = 25 $

Aplicamos la fórmula:

\[ A = 2,000,000 \left(1 + \frac{0.08}{4}\right)^{4 \cdot 25} \]

Calculamos:

\[ A = 2,000,000 \left(1 + 0.02\right)^{100} \]

\[ A = 2,000,000 \left(1.02\right)^{100} \]

\[ A \approx 2,000,000 \cdot 7.244 \]

\[ A \approx 14,488,000 \]

Entonces, el monto alcanzado después de 25 años con capitalización trimestral será aproximadamente **$14,488,000**.

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¿Te gustaría obtener más detalles sobre algún paso? Aquí hay algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo afecta la tasa de interés a la capitalización continua?
2. ¿Cuál es la diferencia entre capitalización continua y compuesta?
3. ¿Cómo se calcula el logaritmo natural de un número?
4. ¿Cómo se deriva la fórmula de capitalización continua?
5. ¿Qué es la base del logaritmo natural y por qué es importante en estos cálculos?

**Tip:** Cuando los intereses se capitalizan continuamente, el crecimiento de la inversión sigue un modelo exponencial, lo que resulta en mayores rendimientos en comparación con la capitalización periódica a largo plazo.

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