Una empresa de publicidad desea demostrarle a sus clientes la efectividad de las campañas publicitarias que ha realizado. La empresa presentó los siguientes datos bivariados sobre doce campañas recientes, incluyendo el costo de cada campaña (que llamamos x, en decenas de millones de dólares) y el porcentaje de aumento resultante en las ventas (que llamamos y ) después de la campaña. Los datos se muestran en el diagrama de dispersión en la figura 1. También nos indican los productos del costo de la campaña y el porcentaje de aumento en las ventas para cada uno de doce campañas. Costo de la campaña, 
(en decenas de millones de dólares)	Aumento en las ventas, 
(por ciento)	x*y
3,64	6,78	24,6792
3,26	6,56	21,3856
1,49	6,38	9,5062
3,66	6,88	25,1808
2,16	6,48	13,9968
4,03	7,02	28,2906
2,33	6,62	15,4246
2,16	6,84	14,7744
1,54	6,20	9,548
1,61	6,59	10,6099
2,87	6,60	18,942
2,91	6,85	19,9335  ¿Cuál es la pendiente de la recta de regresión de mínimos cuadrados para estos datos?

La pendiente de la recta de regresión de mínimos cuadrados se calcula utilizando la siguiente fórmula:

\[
m = \frac{n\sum{xy} - \sum{x}\sum{y}}{n\sum{x^2} - (\sum{x})^2}
\]

Donde:
- \( n \) es el número de observaciones (en este caso, 12 campañas).
- \( \sum{xy} \) es la suma de los productos de \(x\) y \(y\).
- \( \sum{x} \) es la suma de los valores de \(x\).
- \( \sum{y} \) es la suma de los valores de \(y\).
- \( \sum{x^2} \) es la suma de los cuadrados de los valores de \(x\).

### Paso 1: Calcular las sumas necesarias
Ya tenemos algunos valores en la tabla, pero vamos a desglosar las sumas requeridas:

Dado que los productos \( x \times y \) ya están calculados, solo necesitamos calcular las sumas de \(x\), \(y\) y \(x^2\).

#### Datos dados:
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Costo de la campaña } x & \text{Aumento en ventas } y & x \times y \\
\hline
3.64 & 6.78 & 24.6792 \\
3.26 & 6.56 & 21.3856 \\
1.49 & 6.38 & 9.5062 \\
3.66 & 6.88 & 25.1808 \\
2.16 & 6.48 & 13.9968 \\
4.03 & 7.02 & 28.2906 \\
2.33 & 6.62 & 15.4246 \\
2.16 & 6.84 & 14.7744 \\
1.54 & 6.20 & 9.548 \\
1.61 & 6.59 & 10.6099 \\
2.87 & 6.60 & 18.942 \\
2.91 & 6.85 & 19.9335 \\
\hline
\end{array}
\]

### Paso 2: Calcular las sumas

- \( \sum{x} = 3.64 + 3.26 + 1.49 + 3.66 + 2.16 + 4.03 + 2.33 + 2.16 + 1.54 + 1.61 + 2.87 + 2.91 \)
- \( \sum{y} = 6.78 + 6.56 + 6.38 + 6.88 + 6.48 + 7.02 + 6.62 + 6.84 + 6.20 + 6.59 + 6.60 + 6.85 \)
- \( \sum{xy} = 24.6792 + 21.3856 + 9.5062 + 25.1808 + 13.9968 + 28.2906 + 15.4246 + 14.7744 + 9.548 + 10.6099 + 18.942 + 19.9335 \)
- \( \sum{x^2} = (3.64)^2 + (3.26)^2 + (1.49)^2 + (3.66)^2 + (2.16)^2 + (4.03)^2 + (2.33)^2 + (2.16)^2 + (1.54)^2 + (1.61)^2 + (2.87)^2 + (2.91)^2 \)

Voy a calcular estas sumas.Ya hemos calculado las siguientes sumas:

- \( \sum{x} = 31.66 \)
- \( \sum{y} = 79.80 \)
- \( \sum{xy} = 212.27 \)
- \( \sum{x^2} = 92.16 \)

### Paso 3: Aplicar la fórmula de la pendiente

Ahora usamos la fórmula de la pendiente:

\[
m = \frac{n\sum{xy} - \sum{x}\sum{y}}{n\sum{x^2} - (\sum{x})^2}
\]

Sustituyendo los valores:

\[
m = \frac{12 \times 212.27 - 31.66 \times 79.80}{12 \times 92.16 - (31.66)^2}
\]

Voy a calcular la pendiente.It seems like I can’t do more advanced data analysis right now. Please try again later.

If you'd like, I can walk you through the manual calculation steps. Feel free to ask any questions, or you can attempt the calculation using the values we obtained.

### Related Questions:
1. How can we interpret the slope of the regression line?
2. What is the next step after calculating the slope in regression analysis?
3. How do you calculate the y-intercept for the regression line?
4. How can we check if a linear regression model fits the data well?
5. What is the role of residuals in regression analysis?

**Tip:** In linear regression, the slope represents the rate of change of the dependent variable (y) for every unit change in the independent variable (x).

Una empresa de publicidad desea demostrarle a sus clientes la efectividad de las campañas publicitarias que ha realizado. La empresa presentó los siguientes datos bivariados sobre doce campañas recientes, incluyendo el costo de cada campaña (que llamamos x, en decenas de millones de dólares) y el porcentaje de aumento resultante en las ventas (que llamamos y). También se muestran los productos del costo de la campaña y el porcentaje de aumento en las ventas para cada una de las doce campañas. ¿Cuál es la pendiente de la recta de regresión de mínimos cuadrados para estos datos?

Este artículo demuestra cómo calcular la pendiente de la recta de regresión de mínimos cuadrados utilizando datos de costo de campañas publicitarias y su impacto en las ventas. Incluye los valores de x, y, y los productos xy de doce campañas recientes.

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