CALCULAR EL DOMINIO Y RANGO Y EL TIPO DE INTERVALO CON PROCEDIMMIENTO DE LA SIGUENTE ECUACION:x2+7x+12/x+3

Vamos a calcular el **dominio**, **rango** y el **tipo de intervalo** de la función:

\[
f(x) = \frac{x^2 + 7x + 12}{x + 3}
\]

### Paso 1: Simplificación de la función

Primero, factoremos el numerador \(x^2 + 7x + 12\). Buscamos dos números que sumen 7 y cuyo producto sea 12. Esos números son 3 y 4, por lo que podemos factorizar el numerador de la siguiente manera:

\[
x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)
\]

Así, la función original se simplifica a:

\[
f(x) = \frac{(x + 3)(x + 4)}{x + 3}
\]

Siempre que \(x \neq -3\), podemos cancelar el factor \(x + 3\), quedando:

\[
f(x) = x + 4 \quad \text{si} \quad x \neq -3
\]

### Paso 2: Dominio

El dominio de la función son todos los valores de \(x\) para los que la función está definida. En la función original, hay una restricción debido a que el denominador \(x + 3\) no puede ser igual a 0 (para evitar una división por cero). Por lo tanto, \(x \neq -3\).

El **dominio** de la función es:
\[
D_f = (-\infty, -3) \cup (-3, \infty)
\]

### Paso 3: Rango

La función simplificada es \(f(x) = x + 4\), que es una función lineal. Las funciones lineales no tienen restricciones en su rango, ya que pueden tomar cualquier valor real. Sin embargo, debemos recordar que \(x = -3\) está excluido del dominio, así que evaluemos la función en ese punto para ver el valor que no alcanza:

\[
f(-3) = -3 + 4 = 1
\]

Entonces, el **rango** excluye el valor 1 porque no se puede alcanzar cuando \(x = -3\) no está en el dominio.

El **rango** de la función es:
\[
R_f = (-\infty, 1) \cup (1, \infty)
\]

### Paso 4: Tipo de intervalo

Tanto el dominio como el rango están expresados en **intervalos abiertos**. Esto significa que la función no incluye los extremos (en este caso, \(x = -3\) en el dominio y \(y = 1\) en el rango), por lo que ambos son intervalos **abiertos**.

### Resumen

- **Dominio**: \( (-\infty, -3) \cup (-3, \infty) \)
- **Rango**: \( (-\infty, 1) \cup (1, \infty) \)
- **Tipo de intervalo**: Ambos son intervalos abiertos.

¿Te gustaría detalles adicionales o tienes alguna pregunta sobre el proceso?

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Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para continuar explorando el tema:

1. ¿Cómo se factoriza el trinomio \(x^2 + 7x + 12\) si cambiamos los signos de los coeficientes?
2. ¿Qué sucede con el dominio si añadimos una constante al denominador, como \(x + 5\)?
3. ¿Cómo afecta el valor absoluto en el rango de una función lineal?
4. ¿Cómo se representa el rango de una función que nunca cruza el eje \(y\)?
5. ¿Cómo cambia el dominio si la función tiene una raíz cuadrada en el denominador?

**Tip**: Al analizar el dominio, siempre observa primero el denominador o las raíces cuadradas, ya que estas suelen generar restricciones importantes.

CALCULAR EL DOMINIO Y RANGO Y EL TIPO DE INTERVALO CON PROCEDIMIENTO DE LA SIGUIENTE ECUACION:x2+7x+12/x+3

Learn how to calculate the domain and range of the rational function f(x) = (x^2 + 7x + 12) / (x + 3) using factorization techniques. This step-by-step solution explains how to simplify the equation, identify domain restrictions, and determine the range. Ideal for students in Grades 9-12.

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