hallar la derivada de h(x) = (x al cubo + 5x + 3) (x al cuadrado − 2)


Para hallar la derivada de la función \( h(x) = (x^3 + 5x + 3)(x^2 - 2) \), utilizaremos la **regla del producto**, que se enuncia de la siguiente manera:

Si tenemos una función del tipo \( h(x) = f(x) \cdot g(x) \), entonces su derivada se calcula como:

\[
h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)
\]

### Paso 1: Identificar \( f(x) \) y \( g(x) \)

- \( f(x) = x^3 + 5x + 3 \)
- \( g(x) = x^2 - 2 \)

### Paso 2: Hallar las derivadas de \( f(x) \) y \( g(x) \)

- \( f'(x) = 3x^2 + 5 \) (derivada de \( x^3 + 5x + 3 \))
- \( g'(x) = 2x \) (derivada de \( x^2 - 2 \))

### Paso 3: Aplicar la regla del producto

Ahora aplicamos la fórmula:

\[
h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)
\]

Sustituyendo:

\[
h'(x) = (3x^2 + 5)(x^2 - 2) + (x^3 + 5x + 3)(2x)
\]

### Paso 4: Simplificar

Expandimos ambos términos:

1. \( (3x^2 + 5)(x^2 - 2) = 3x^4 - 6x^2 + 5x^2 - 10 = 3x^4 - x^2 - 10 \)
2. \( (x^3 + 5x + 3)(2x) = 2x^4 + 10x^2 + 6x \)

Sumamos los términos:

\[
h'(x) = (3x^4 - x^2 - 10) + (2x^4 + 10x^2 + 6x)
\]

Agrupamos los términos semejantes:

\[
h'(x) = 5x^4 + 9x^2 + 6x - 10
\]

### Respuesta final:

La derivada de \( h(x) \) es:

\[
h'(x) = 5x^4 + 9x^2 + 6x - 10
\]

¿Te gustaría detalles adicionales sobre este proceso o tienes alguna otra duda?

---

Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplica la regla de la cadena en funciones compuestas?
2. ¿Qué es la regla del cociente y cómo se utiliza en derivadas?
3. ¿Cómo se halla la derivada de un producto de más de dos funciones?
4. ¿Cuándo se utiliza la derivada implícita en una función?
5. ¿Qué interpretaciones físicas tiene la derivada de una función en contextos de velocidad?

**Tip**: Siempre revisa que todos los términos estén correctamente agrupados para evitar errores al derivar.

hallar la derivada de h(x) = (x al cubo + 5x + 3)(x al cuadrado − 2)

Learn how to differentiate the function h(x) = (x^3 + 5x + 3)(x^2 − 2) step by step using the product rule. This solution covers key calculus concepts such as the product rule for differentiation and the derivative of polynomial functions. Suitable for advanced high school students or beginners in college calculus.

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