g\left(x\right)=\left(x^3-7\right)\left(2x^2+3\right), derivada

Para encontrar la derivada de la función \( g(x) = (x^3 - 7)(2x^2 + 3) \), utilizaremos la regla del producto. La regla del producto establece que si tenemos dos funciones \( u(x) \) y \( v(x) \), la derivada de su producto es:

\[
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
\]

En este caso, podemos identificar:

\[
u(x) = x^3 - 7 \quad \text{y} \quad v(x) = 2x^2 + 3
\]

Primero, derivamos \( u(x) \) y \( v(x) \) por separado:

\[
u'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 7) = 3x^2
\]

\[
v'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 + 3) = 4x
\]

Ahora, aplicamos la regla del producto:

\[
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
\]

Sustituyendo \( u'(x) \), \( u(x) \), \( v(x) \) y \( v'(x) \):

\[
g'(x) = (3x^2)(2x^2 + 3) + (x^3 - 7)(4x)
\]

Expandimos ambos productos:

\[
g'(x) = 3x^2(2x^2) + 3x^2(3) + x^3(4x) - 7(4x)
\]

\[
g'(x) = 6x^4 + 9x^2 + 4x^4 - 28x
\]

Finalmente, combinamos términos semejantes:

\[
g'(x) = 10x^4 + 9x^2 - 28x
\]

Entonces, la derivada de \( g(x) \) es:

\[
g'(x) = 10x^4 + 9x^2 - 28x
\]

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

---

**Preguntas Relacionadas:**
1. ¿Cómo se aplica la regla del producto a funciones más complejas?
2. ¿Qué sucede si \( g(x) \) tiene más de dos factores?
3. ¿Cómo se utiliza la regla de la cadena en la diferenciación?
4. ¿Cómo se derivan funciones compuestas?
5. ¿Qué otras reglas de derivación existen?
6. ¿Cómo se derivan funciones trigonométricas?
7. ¿Qué es la derivada implícita?
8. ¿Cómo se interpretan derivadas en un contexto físico?

**Tip:** Es útil memorizar las reglas de derivación básicas, como la del producto y la cadena, ya que son fundamentales para resolver problemas más complejos.

Learn how to find the derivative of g(x) = (x^3 - 7)(2x^2 + 3) using the product rule with a detailed step-by-step solution. This problem involves differentiation of polynomial functions and applies the product rule for calculus. Suitable for advanced high school students and calculus learners.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation