Aplicando límites obtén las rectas asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones traza su gráfica para comprobarlo:

Para determinar las asíntotas verticales y horizontales de una función utilizando límites, debes seguir estos pasos:

### 1. **Identificar las asíntotas verticales:**
   - Las asíntotas verticales ocurren cuando la función tiende a infinito positivo o negativo al acercarse a un cierto valor de \(x\).
   - Para encontrar asíntotas verticales, calculamos el límite de la función cuando \(x\) se aproxima a un valor específico desde ambos lados (izquierda y derecha).

### 2. **Identificar las asíntotas horizontales:**
   - Las asíntotas horizontales ocurren cuando \(x\) tiende a infinito positivo o negativo, y la función se aproxima a un valor constante.
   - Para encontrarlas, se evalúan los límites de la función cuando \(x\) tiende a \(+\infty\) y \(−\infty\).

### Ejemplo Genérico:

Supongamos que la función a analizar es:

\[
f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}
\]

#### **Paso 1: Encontrar las asíntotas verticales**

Busca los valores de \(x\) para los cuales el denominador es cero, ya que allí es donde podría haber una asíntota vertical.

- Denominador: \(x - 1 = 0\)
- Solución: \(x = 1\)

Ahora calculamos los límites laterales alrededor de \(x = 1\):

\[
\lim_{{x \to 1^+}} f(x) = \lim_{{x \to 1^+}} \frac{2x + 3}{x - 1} = +\infty
\]

\[
\lim_{{x \to 1^-}} f(x) = \lim_{{x \to 1^-}} \frac{2x + 3}{x - 1} = -\infty
\]

Esto indica una asíntota vertical en \(x = 1\).

#### **Paso 2: Encontrar las asíntotas horizontales**

Examinemos los límites cuando \(x \to \pm\infty\):

\[
\lim_{{x \to +\infty}} f(x) = \lim_{{x \to +\infty}} \frac{2x + 3}{x - 1} = \lim_{{x \to +\infty}} \frac{2x(1 + \frac{3}{2x})}{x(1 - \frac{1}{x})} = \lim_{{x \to +\infty}} \frac{2(1 + \frac{3}{2x})}{(1 - \frac{1}{x})} = 2
\]

\[
\lim_{{x \to -\infty}} f(x) = \lim_{{x \to -\infty}} \frac{2x + 3}{x - 1} = 2
\]

Esto indica una asíntota horizontal en \(y = 2\).

### **Paso 3: Graficar para comprobar**

Voy a trazar la gráfica para verificar las asíntotas obtenidas. Procederé a realizar los cálculos y la gráfica.

Learn how to determine vertical and horizontal asymptotes of functions using limits. Step-by-step guide with examples provided. Suitable for high school and above.

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