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Encuentra las asíntotas verticales y horizontales y explica el proceso

Para encontrar las asíntotas verticales y horizontales de la función

\[ y = \frac{2x^2 + 2x + 3}{4x^2 - 4x}, \]

seguiremos los siguientes pasos:

### Asíntotas Verticales

Las asíntotas verticales ocurren donde el denominador es igual a cero (y el numerador no es cero en ese punto). Primero, encontramos los valores de \( x \) que hacen que el denominador sea cero:

\[ 4x^2 - 4x = 0. \]

Factorizamos el denominador:

\[ 4x(x - 1) = 0. \]

Esto nos da las soluciones:

\[ x = 0 \quad \text{y} \quad x = 1. \]

Entonces, las asíntotas verticales están en \( x = 0 \) y \( x = 1 \).

### Asíntotas Horizontales

Las asíntotas horizontales se determinan comparando los grados del numerador y el denominador. En este caso, ambos polinomios (numerador y denominador) son de grado 2.

Si el grado del numerador es igual al grado del denominador, la asíntota horizontal es el coeficiente líder del numerador dividido por el coeficiente líder del denominador. Aquí, el coeficiente líder del numerador es 2 y el del denominador es 4:

\[ y = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. \]

Por lo tanto, la asíntota horizontal está en \( y = \frac{1}{2} \).

### Resumen

- **Asíntotas verticales:** \( x = 0 \) y \( x = 1 \).
- **Asíntota horizontal:** \( y = \frac{1}{2} \).

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

#### Preguntas Relativas:
1. ¿Cómo se determinarían las asíntotas oblicuas si el grado del numerador fuera mayor que el del denominador?
2. ¿Qué sucede con la gráfica de la función cerca de las asíntotas verticales?
3. ¿Cómo afecta una asíntota horizontal a los valores de \( y \) cuando \( x \) tiende a infinito?
4. ¿Qué representa una asíntota en el contexto de una gráfica de función racional?
5. ¿Cómo se puede simplificar la función dada antes de encontrar las asíntotas?

#### Tip:
Para encontrar asíntotas verticales, siempre asegúrate de que el denominador se iguale a cero y verifica que el numerador no se anule en esos puntos.

Encuentra las asíntotas verticales y horizontales y explica el proceso.

This guide explains how to find vertical and horizontal asymptotes for the rational function (2x² + 2x + 3) / (4x² - 4x). Learn the step-by-step process of polynomial factorization and degree comparison for accurate results. Suitable for students in Grades 10-12.

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