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Para determinar si las siguientes expresiones son funciones o relaciones, debemos analizar si para cada valor de \( x \) existe un único valor de \( y \). Si esto se cumple, la expresión es una **función**; de lo contrario, es una **relación**.

Vamos a analizar las expresiones una por una:

### Expresión 1: \( 3x^2 + 6y^2 = 18 \)
- Esta ecuación es una **cónica** (específicamente una elipse si dividimos ambos lados por 18).
- Si despejamos \( y \), obtenemos \( y = \pm \sqrt{\frac{18 - 3x^2}{6}} \).
- Como hay dos posibles valores de \( y \) para un mismo \( x \), no cumple con la definición de función.
- **Resultado**: Relación.

### Expresión 2: \( 2x + 4y - 1 = 3 + y \)
- Simplificamos la ecuación:
  \[
  2x + 4y - 1 = 3 + y \implies 2x + 4y - y = 3 + 1 \implies 2x + 3y = 4
  \]
- Despejamos \( y \):
  \[
  y = \frac{4 - 2x}{3}
  \]
- Para cada valor de \( x \), hay un único valor de \( y \), por lo que esta ecuación representa una función.
- **Resultado**: Función.

### Expresión 3: \( y^3 + 2x^2 = x - 1 \)
- Intentemos despejar \( y \):
  \[
  y^3 = x - 1 - 2x^2
  \]
  \[
  y = \sqrt[3]{x - 1 - 2x^2}
  \]
- Para cada valor de \( x \), hay un único valor de \( y \), ya que la función cúbica es inyectiva (no hay duplicados en los valores de \( y \)).
- **Resultado**: Función.

### Expresión 4: \( xy + 2x - 1 = x^2 \)
- Intentemos despejar \( y \):
  \[
  xy = x^2 - 2x + 1
  \]
  \[
  y = \frac{x^2 - 2x + 1}{x}
  \]
- Esta expresión está definida siempre que \( x \neq 0 \). Para cada valor de \( x \), hay un único valor de \( y \) excepto en \( x = 0 \), lo que implica que fuera de ese punto la relación es funcional.
- **Resultado**: Función (excepto en \( x = 0 \)).

### Resumen final:
1. \( 3x^2 + 6y^2 = 18 \) → Relación.
2. \( 2x + 4y - 1 = 3 + y \) → Función.
3. \( y^3 + 2x^2 = x - 1 \) → Función.
4. \( xy + 2x - 1 = x^2 \) → Función (excepto en \( x = 0 \)).

¿Te gustaría que profundice en alguno de estos resultados?

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**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo saber cuándo una ecuación es una función o una relación?
2. ¿Qué tipos de cónicas se pueden obtener de ecuaciones cuadráticas?
3. ¿Cómo se despejan ecuaciones cúbicas para obtener \( y \)?
4. ¿Cómo afecta la discontinuidad en \( x = 0 \) en la cuarta ecuación?
5. ¿Qué significa que una función sea inyectiva o biyectiva?

**Tip:** Al despejar \( y \) en ecuaciones no lineales, es importante considerar los valores de \( x \) que podrían hacer que la ecuación no esté definida, como \( x = 0 \) en fracciones.

Determine if the following expressions are functions or relations: 3x^2 + 6y^2 = 18, 2x + 4y - 1 = 3 + y, y^3 + 2x^2 = x - 1, xy + 2x - 1 = x^2.

Analyze various algebraic expressions to determine whether they represent functions or relations. This guide covers quadratic, cubic equations, and conic sections, providing step-by-step solutions for high school students in Grades 10-12.

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