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La imagen describe una técnica para resolver integrales donde el numerador es una función cúbica y el denominador contiene una raíz cuadrada de un polinomio cuadrático. Vamos a desglosar paso a paso la explicación:

1. **Forma de la Integral:**
   La integral dada es:

   \[
   I = \int \frac{Ax^3 + Bx^2 + Cx + D}{\sqrt{ax^2 + bx + c}} \, dx
   \]

   donde el numerador es un polinomio cúbico (grado 3) y el denominador es la raíz cuadrada de un polinomio cuadrático.

2. **Recomendaciones:**
   La estrategia consiste en reescribir el numerador \( Ax^3 + Bx^2 + Cx + D \) en una forma especial para simplificar la integral. Esta forma es:

   \[
   H \cdot x \cdot (\text{radicando}) + K \cdot (\text{radicando}) + L \cdot (\text{radicando})' + M
   \]

   donde:

   - \(\text{radicando}\) se refiere al polinomio \( ax^2 + bx + c \) dentro de la raíz cuadrada.
   - \(\text{radicando}'\) es la derivada de \( ax^2 + bx + c \).
   - \( H, K, L, M \) son constantes indeterminadas que se deben encontrar.

3. **Interpretación de los Términos:**
   - \( H \cdot x \cdot (\text{radicando}) \): Aquí se multiplica la variable \( x \) por el polinomio cuadrático \( ax^2 + bx + c \).
   - \( K \cdot (\text{radicando}) \): Se multiplica el polinomio cuadrático directamente por una constante \( K \).
   - \( L \cdot (\text{radicando})' \): Se multiplica la derivada del polinomio cuadrático por una constante \( L \).
   - \( M \): Es una constante independiente.

4. **Determinación de Constantes:**
   Para encontrar los valores de \( H, K, L, M \), se iguala el numerador original \( Ax^3 + Bx^2 + Cx + D \) con la combinación de términos sugerida:

   \[
   H \cdot (\text{numerador}) + K \cdot (\text{radicando}) + L \cdot (\text{radicando})' + M = \text{numerador}
   \]

   Comparando coeficientes de los términos del polinomio en ambos lados de la ecuación, se pueden determinar los valores de \( H, K, L \) y \( M \).

### ¿Deseas más detalles o alguna aclaración? 

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para explorar más el tema:

1. ¿Cómo se deriva el polinomio cuadrático \( ax^2 + bx + c \) para obtener \( (\text{radicando})' \)?
2. ¿Cómo se comparan los coeficientes para encontrar las constantes \( H, K, L \) y \( M \)?
3. ¿Cuál es el papel de la derivada del radicando en la simplificación de la integral?
4. ¿Cómo se resuelven integrales similares cuando el numerador es de grado diferente al cúbico?
5. ¿Qué métodos alternativos existen para resolver integrales con polinomios sobre raíces cuadradas?

**Tip:** Para dominar este tipo de integrales, práctica con ejemplos específicos e intenta encontrar las constantes a través de comparación de coeficientes.

Learn how to solve integrals where the numerator is a cubic function and the denominator contains a square root of a quadratic polynomial. This guide explains the step-by-step technique to express the numerator in a specific form to simplify the integral.

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