Une piste de course est conçue avec une rampe de saut à 30º et avec une hauteur de 1 m. Durant une course, on a observé que Mario reste dans les airs pour 1,5 s. Déterminez la vitesse à laquelle il saute de la rampe, la distance horizontale voyagée R avant qu’il touche le sol et la hauteur maximale atteinte.

Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser les équations du mouvement sous l'influence de la gravité et décomposer le mouvement en deux parties : une partie horizontale et une partie verticale.

### Données du problème :
- L'angle de la rampe : \(\theta = 30^\circ\)
- La hauteur de la rampe : \(h = 1 \, \text{m}\)
- Temps en l'air : \(t_{\text{air}} = 1.5 \, \text{s}\)
- Accélération due à la gravité : \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)

### 1. Vitesse initiale \((v_0)\)

Le temps total en l'air dépend de la composante verticale de la vitesse initiale. La vitesse initiale verticale \(v_{0_y}\) peut être obtenue par l'équation du mouvement vertical. La relation qui lie le temps total de vol et la composante verticale est donnée par :

\[
t_{\text{air}} = \frac{2 \cdot v_{0_y}}{g}
\]

Puisque \(t_{\text{air}} = 1.5 \, \text{s}\), on peut isoler \(v_{0_y}\) :

\[
v_{0_y} = \frac{g \cdot t_{\text{air}}}{2} = \frac{9.8 \cdot 1.5}{2} = 7.35 \, \text{m/s}
\]

Sachant que \(v_{0_y} = v_0 \cdot \sin(\theta)\), on peut écrire :

\[
v_0 \cdot \sin(30^\circ) = 7.35
\]

Or, \(\sin(30^\circ) = 0.5\), donc :

\[
v_0 \cdot 0.5 = 7.35 \implies v_0 = \frac{7.35}{0.5} = 14.7 \, \text{m/s}
\]

### 2. Distance horizontale \(R\)

La composante horizontale de la vitesse est donnée par \(v_{0_x} = v_0 \cdot \cos(\theta)\), où \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

\[
v_{0_x} = 14.7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 12.73 \, \text{m/s}
\]

La distance horizontale \(R\) est donnée par :

\[
R = v_{0_x} \cdot t_{\text{air}} = 12.73 \cdot 1.5 = 19.1 \, \text{m}
\]

### 3. Hauteur maximale atteinte

La hauteur maximale est atteinte lorsque la composante verticale de la vitesse devient nulle (\(v_y = 0\)). L'équation pour la hauteur maximale est :

\[
h_{\text{max}} = \frac{v_{0_y}^2}{2g} = \frac{7.35^2}{2 \cdot 9.8} = 2.76 \, \text{m}
\]

Puisqu'il a déjà sauté d'une hauteur de 1 m (la hauteur de la rampe), la hauteur totale atteinte est :

\[
H_{\text{totale}} = 1 + 2.76 = 3.76 \, \text{m}
\]

### Résultats :
- La vitesse à laquelle Mario saute de la rampe est **14.7 m/s**.
- La distance horizontale parcourue est **19.1 m**.
- La hauteur maximale atteinte est **3.76 m**.

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Avez-vous des questions ou voulez-vous plus de détails ?

### Questions relatives :
1. Comment la hauteur de la rampe affecterait-elle la distance parcourue par Mario ?
2. Comment la vitesse initiale serait-elle affectée si l'angle de la rampe était plus petit ?
3. Que se passerait-il si Mario restait en l'air plus longtemps ?
4. Quelle est l'influence de la gravité sur le mouvement de Mario ?
5. Comment calculerait-on la vitesse d'atterrissage de Mario ?

### Tip :
En décomposant les mouvements en parties horizontale et verticale, on peut analyser de nombreux types de problèmes de projectiles.

Découvrez comment calculer la vitesse initiale, la distance horizontale parcourue, et la hauteur maximale atteinte par un projectile sautant d'une rampe de 30º à une hauteur de 1 m, en restant en l'air pendant 1,5 s. Ce problème implique des concepts de cinématique et de trigonométrie, et est adapté aux élèves de 10e à 12e année.

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