 Sabendo que o gráfico de y=f(x) intercepta o eixo y no ponto (0,1) e é tangente ao eixo x, determine os possíveis valores de a e b

Para determinar os possíveis valores de \(a\) e \(b\) na função \(f(x) = ax^2 + bx + c\), dada a interceptação no ponto \((0,1)\) e o fato de que o gráfico é tangente ao eixo \(x\), podemos seguir os seguintes passos:

### Passo 1: Identificar as condições dadas
1. **Interceptação com o eixo \(y\):** \(f(0) = 1\).
   \[
   f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c
   \]
   Portanto, \(c = 1\).

2. **Tangência ao eixo \(x\):** Se o gráfico é tangente ao eixo \(x\), isso significa que a função possui uma raiz dupla, ou seja, o discriminante da equação quadrática \(ax^2 + bx + c = 0\) deve ser igual a zero.

### Passo 2: Determinar a equação discriminante
A equação quadrática geral é:
\[
f(x) = ax^2 + bx + 1
\]
O discriminante (\(\Delta\)) é dado por:
\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]
Substituindo \(c = 1\):
\[
\Delta = b^2 - 4a
\]

Para que o gráfico seja tangente ao eixo \(x\), devemos ter \(\Delta = 0\):
\[
b^2 - 4a = 0
\]
\[
b^2 = 4a
\]
\[
a = \frac{b^2}{4}
\]

### Passo 3: Conclusão
Os possíveis valores de \(a\) e \(b\) estão relacionados pela equação \(a = \frac{b^2}{4}\). Portanto, \(a\) e \(b\) podem assumir qualquer valor que satisfaça essa equação, com \(c = 1\).

### Resumo
Os possíveis valores de \(a\) e \(b\) são tais que \(a = \frac{b^2}{4}\), e a função terá a forma \(f(x) = \frac{b^2}{4}x^2 + bx + 1\).

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**Você quer mais detalhes ou tem alguma dúvida?**

**Questões relacionadas:**
1. O que é o discriminante de uma equação quadrática?
2. Como determinar o ponto de tangência de uma parábola com o eixo \(x\)?
3. Como se calcula a raiz de uma equação quadrática?
4. O que significa o gráfico de uma função ser tangente ao eixo \(x\)?
5. Como interpretar a função quadrática em termos de suas raízes e vértice?
6. Como encontrar o vértice de uma parábola?
7. Quais as condições para uma parábola ter raízes reais e distintas?
8. Como a mudança no valor de \(b\) afeta o gráfico de uma função quadrática?

**Dica:** Quando o gráfico de uma função é tangente ao eixo \(x\), isso indica que a função possui uma única solução real para a equação \(f(x) = 0\).

Learn how to determine the possible values of a and b for a quadratic function given intercepts and tangency conditions. Explore the discriminant formula and vertex form in quadratic equations. Suitable for advanced high school students.

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