explicacion de la desigualdades ax2+bx+c>0 a>o para cada caso encontrar los valore de x para la cuales satifase la desigualda

Para resolver la desigualdad cuadrática \( ax^2 + bx + c > 0 \) con \( a > 0 \), es importante analizar los posibles casos que surgen de la ecuación cuadrática asociada, es decir, \( ax^2 + bx + c = 0 \). El signo de \( a \) nos dice que la parábola abre hacia arriba. La solución se basa en el discriminante \( \Delta = b^2 - 4ac \).

### Casos a considerar:

1. **Discriminante positivo (\( \Delta > 0 \)):**
   - La ecuación cuadrática tiene dos raíces reales y distintas \( x_1 \) y \( x_2 \).
   - La parábola cruza el eje \( x \) en dos puntos.
   - La desigualdad \( ax^2 + bx + c > 0 \) se cumple cuando \( x \) está en los intervalos externos: \( x < x_1 \) o \( x > x_2 \).
   
2. **Discriminante igual a cero (\( \Delta = 0 \)):**
   - La ecuación cuadrática tiene una única raíz real \( x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a} \).
   - La parábola toca el eje \( x \) en un solo punto.
   - La desigualdad \( ax^2 + bx + c > 0 \) no se cumple en ningún valor de \( x \), salvo cuando \( x \) no es igual a la raíz (es decir, en todos los valores de \( x \) excepto en \( x = -\frac{b}{2a} \)).
   
3. **Discriminante negativo (\( \Delta < 0 \)):**
   - La ecuación cuadrática no tiene raíces reales.
   - La parábola no cruza el eje \( x \) y se encuentra completamente por encima del eje \( x \).
   - En este caso, \( ax^2 + bx + c > 0 \) para todos los valores de \( x \).

### Resumen de las soluciones:
- **Si \( \Delta > 0 \)**: \( x \) pertenece a \( (-\infty, x_1) \cup (x_2, \infty) \).
- **Si \( \Delta = 0 \)**: \( x \) pertenece a \( (-\infty, -\frac{b}{2a}) \cup (-\frac{b}{2a}, \infty) \) o simplemente, \( x \) puede ser cualquier valor excepto \( x = -\frac{b}{2a} \).
- **Si \( \Delta < 0 \)**: \( x \) pertenece a \( (-\infty, \infty) \) (es decir, para todo \( x \)).

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas**:

1. ¿Cómo se resuelven las desigualdades cuadráticas cuando \( a < 0 \)?
2. ¿Cómo afecta el valor de \( a \) al gráfico de una parábola?
3. ¿Qué sucede si \( b \) y \( c \) son iguales a cero en la ecuación cuadrática?
4. ¿Cómo se calcula el discriminante y qué información proporciona?
5. ¿Qué aplicaciones prácticas tienen las desigualdades cuadráticas?

**Tip**: El discriminante \( \Delta = b^2 - 4ac \) es clave para determinar el número y tipo de soluciones de una ecuación cuadrática.

Understand how to solve quadratic inequalities ax^2 + bx + c > 0 where a > 0. Explore the discriminant concept and its impact on the solutions. Suitable for advanced high school students.

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