https://r2.erweima.ai/mathbot/image/1726790211163gjyj8p2x.jpg

Bài tập yêu cầu tìm giá trị của \( m \) để các hàm số trong bài được liên tục trên tập số thực \( \mathbb{R} \).

### Cách làm chung:
- Một hàm số \( f(x) \) liên tục tại một điểm \( x_0 \) nếu:
  \[
  \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)
  \]
- Ở đây, ta cần tìm \( m \) để hàm số liên tục tại các điểm mà nó thay đổi định nghĩa (ví dụ như \( x = 1, x = 2 \)).

#### a) Hàm \( f(x) \) được định nghĩa:
\[
f(x) = \begin{cases} 
\frac{x^2 - 1}{x - 1}, & x \neq 1 \\
m^2 + m, & x = 1 
\end{cases}
\]
**Liên tục tại \( x = 1 \)**: 
- Với \( x \neq 1 \), ta rút gọn:
  \[
  \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1, \, \text{với} \, x \neq 1
  \]
- Giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \to 1 \):
  \[
  \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2
  \]
- Hàm số liên tục tại \( x = 1 \) khi \( f(1) = 2 \):
  \[
  m^2 + m = 2 \Rightarrow m^2 + m - 2 = 0
  \]
  - Phương trình có nghiệm:
    \[
    m = 1 \, \text{hoặc} \, m = -2
    \]
    
#### b) Hàm \( f(x) \) được định nghĩa:
\[
f(x) = \begin{cases} 
\frac{-x^2 + 3x - 2}{x - 2}, & x \neq 2 \\
m^2 + 4m + 2, & x = 2 
\end{cases}
\]
**Liên tục tại \( x = 2 \)**:
- Với \( x \neq 2 \), ta rút gọn:
  \[
  \frac{-x^2 + 3x - 2}{x - 2} = \frac{-(x-2)(x+1)}{x-2} = -(x+1), \, \text{với} \, x \neq 2
  \]
- Giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \to 2 \):
  \[
  \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (-(x + 1)) = -(2 + 1) = -3
  \]
- Hàm số liên tục tại \( x = 2 \) khi \( f(2) = -3 \):
  \[
  m^2 + 4m + 2 = -3 \Rightarrow m^2 + 4m + 5 = 0
  \]
  - Phương trình vô nghiệm, nên không có giá trị \( m \) thỏa mãn tính liên tục của hàm số tại \( x = 2 \).

#### c) Hàm \( f(x) \) được định nghĩa:
\[
f(x) = \begin{cases} 
x + 1, & x \leq 1 \\
3 - m^2 x^2, & x > 1 
\end{cases}
\]
**Liên tục tại \( x = 1 \)**:
- Giới hạn của hàm khi \( x \to 1^-\) (từ bên trái):
  \[
  \lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 + 1 = 2
  \]
- Giới hạn của hàm khi \( x \to 1^+\) (từ bên phải):
  \[
  \lim_{x \to 1^+} f(x) = 3 - m^2 \cdot 1^2 = 3 - m^2
  \]
- Hàm liên tục tại \( x = 1 \) khi hai giới hạn bằng nhau:
  \[
  2 = 3 - m^2 \Rightarrow m^2 = 1 \Rightarrow m = 1 \, \text{hoặc} \, m = -1
  \]

#### d) Hàm \( f(x) \) được định nghĩa:
\[
f(x) = \begin{cases} 
me^x, & x < 0 \\
m^2 + x, & x \geq 0 
\end{cases}
\]
**Liên tục tại \( x = 0 \)**:
- Giới hạn của hàm khi \( x \to 0^- \) (từ bên trái):
  \[
  \lim_{x \to 0^-} f(x) = m e^0 = m
  \]
- Giá trị của hàm tại \( x = 0 \) là:
  \[
  f(0) = m^2 + 0 = m^2
  \]
- Hàm liên tục tại \( x = 0 \) khi:
  \[
  m = m^2 \Rightarrow m^2 - m = 0 \Rightarrow m(m - 1) = 0
  \]
  - Phương trình có nghiệm:
    \[
    m = 0 \, \text{hoặc} \, m = 1
    \]

### Kết luận:
- a) \( m = 1 \) hoặc \( m = -2 \)
- b) Không có giá trị \( m \) thỏa mãn.
- c) \( m = 1 \) hoặc \( m = -1 \)
- d) \( m = 0 \) hoặc \( m = 1 \)

---

Bạn có muốn giải thích chi tiết thêm bước nào không?  
Dưới đây là 5 câu hỏi liên quan đến bài toán trên:
1. Điều kiện cần để một hàm số liên tục tại một điểm là gì?
2. Tại sao phương trình trong câu b) không có nghiệm?
3. Điều gì xảy ra nếu giá trị của \( m \) khác kết quả đã tìm được trong các câu?
4. Làm thế nào để rút gọn biểu thức phân thức trong câu a) và b)?
5. Tại sao phương trình \( m^2 - m = 0 \) có hai nghiệm?

**Mẹo:** Khi tính giới hạn của các biểu thức chứa phân thức, nếu có thể rút gọn tử và mẫu, hãy thực hiện ngay trước khi tính giới hạn.

Xác định m để hàm số liên tục trên ℝ

Solve for m to ensure the continuity of piecewise functions on the real number set ℝ. This problem covers key concepts of continuity, limits, and algebraic simplification, appropriate for students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation