ok nas colunas de [-11,-3,-2,-1],+span[1,0,0,-2],[0,0,-4,0],[0,6,0,0]

Vamos analisar o sistema de colunas que você forneceu:

Você tem as colunas \([-11, -3, -2, -1]\), \([1, 0, 0, -2]\), \([0, 0, -4, 0]\) e \([0, 6, 0, 0]\).

### Determinação da Base e da Dimensão
Para determinar se essas colunas formam uma base para \(\mathbb{R}^4\), precisamos verificar se elas são linearmente independentes. Isso pode ser feito montando uma matriz \(4 \times 4\) com essas colunas e calculando seu determinante.

A matriz seria:

\[
A = \begin{pmatrix}
-11 & 1 & 0 & 0 \\
-3 & 0 & 0 & 6 \\
-2 & 0 & -4 & 0 \\
-1 & -2 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz para verificar se ele é diferente de zero, o que indicaria que as colunas são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.

### Cálculo do Determinante

\[
\text{det}(A) = -11 \cdot \left( \text{det} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 6 \\ 0 & -4 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \right) - 1 \cdot \left( \text{det} \begin{pmatrix} -3 & 0 & 6 \\ -2 & -4 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \right) + 0 - 0
\]

Agora precisamos calcular os determinantes das submatrizes \(3 \times 3\).

Se preferir, posso calcular o determinante completo ou explicar as etapas detalhadamente. Como você gostaria de prosseguir?

Explore how to determine if columns form a basis for R^4 using matrix determinants. Analyze a 4x4 matrix with columns [-11,-3,-2,-1], [1,0,0,-2], [0,0,-4,0], and [0,6,0,0] to check for linear independence and calculate the determinant. Ideal for undergraduate students studying linear algebra.

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