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El problema nos pide determinar el valor de \(a\) para que el rango de la matriz \(A\) sea 2. La matriz \(A\) está definida como:

\[
A = \begin{pmatrix}
2 & 1 & 2 \\
4 & 2a & 1 \\
6 & 3 & 3a
\end{pmatrix}
\]

El rango de una matriz es 2 si las tres filas no son linealmente independientes, es decir, una de las filas puede expresarse como combinación lineal de las otras dos.

### Paso 1: Determinemos el determinante de la matriz \(A\)
Primero, calculamos el determinante de la matriz. Si el determinante de \(A\) es 0, eso indica que las filas no son linealmente independientes, y el rango no es 3.

El determinante de \(A\) se calcula de la siguiente manera:

\[
\text{det}(A) = 2 \begin{vmatrix} 2a & 1 \\ 3 & 3a \end{vmatrix} 
- 1 \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 6 & 3a \end{vmatrix}
+ 2 \begin{vmatrix} 4 & 2a \\ 6 & 3 \end{vmatrix}
\]

Calculamos cada menor 2x2:

\[
\begin{vmatrix} 2a & 1 \\ 3 & 3a \end{vmatrix} = 2a(3a) - 1(3) = 6a^2 - 3
\]

\[
\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 6 & 3a \end{vmatrix} = 4(3a) - 1(6) = 12a - 6
\]

\[
\begin{vmatrix} 4 & 2a \\ 6 & 3 \end{vmatrix} = 4(3) - 2a(6) = 12 - 12a
\]

Sustituyendo en el determinante:

\[
\text{det}(A) = 2(6a^2 - 3) - 1(12a - 6) + 2(12 - 12a)
\]

Simplificamos cada término:

\[
= 12a^2 - 6 - (12a - 6) + 24 - 24a
\]

\[
= 12a^2 - 12a + 24 - 6
\]

\[
= 12a^2 - 12a + 18
\]

Para que el rango sea 2, el determinante debe ser igual a 0:

\[
12a^2 - 12a + 18 = 0
\]

### Paso 2: Resolvamos la ecuación cuadrática
Dividimos entre 6 para simplificar:

\[
2a^2 - 2a + 3 = 0
\]

Intentamos resolver esta ecuación usando la fórmula general para ecuaciones cuadráticas:

\[
a = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(2)(3)}}{2(2)}
\]

\[
a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{4}
\]

\[
a = \frac{2 \pm \sqrt{-20}}{4}
\]

\[
a = \frac{2 \pm 2i\sqrt{5}}{4}
\]

\[
a = \frac{1 \pm i\sqrt{5}}{2}
\]

Como el valor de \(a\) es complejo, esto significa que el determinante de la matriz no se hace 0 para valores reales de \(a\). Esto implica que la matriz siempre tendrá rango completo (rango 3) si \(a\) es un número real.

### Paso 3: Condiciones para el rango 2
El rango de la matriz \(A\) será 2 solo si alguna fila es combinación lineal de las otras dos. Esto ocurre si \(a = 1\), porque en ese caso, las filas de la matriz se vuelven linealmente dependientes. Cuando \(a = 1\), la segunda fila será proporcional a la primera, lo que reduce el rango de la matriz a 2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es:

\[
a \in \mathbb{R} - \{1\}
\]

Es decir, el rango de la matriz \(A\) es 2 si \(a\) no es 1.

---

¿Te gustaría más detalles sobre este proceso o tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula el determinante de una matriz 3x3?
2. ¿Qué significa que una matriz tenga rango 2?
3. ¿Qué implica que una matriz sea singular?
4. ¿Cómo se relaciona el rango de una matriz con sus soluciones?
5. ¿Cómo afectan los valores complejos al rango de una matriz?

### Tip: Siempre que el determinante de una matriz sea cero, implica que las filas o columnas son linealmente dependientes.

Considere A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 4 & 2a & 1 \\ 6 & 3 & 3a \end{pmatrix}. Entonces el rango de A es 2 solo si:

This problem explores conditions for which a 3x3 matrix has rank 2. It involves calculating determinants and analyzing linear dependence among the matrix's rows. Suitable for undergraduate students studying linear algebra.

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