Descomponer la siguiente función en su señal par e impar: x(t)=e^(-2t) *cos(t)



Para descomponer la función \( x(t) = e^{-2t} \cos(t) \) en sus componentes par e impar, podemos utilizar las siguientes definiciones:

1. **Señal par**: Una función es par si \( x(t) = x(-t) \).
   \[
   x_{\text{par}}(t) = \frac{x(t) + x(-t)}{2}
   \]
2. **Señal impar**: Una función es impar si \( x(t) = -x(-t) \).
   \[
   x_{\text{impar}}(t) = \frac{x(t) - x(-t)}{2}
   \]

Sigamos estos pasos:

### Paso 1: Calcular \( x(-t) \)
La función original es:
\[
x(t) = e^{-2t} \cos(t)
\]
Sustituyendo \( -t \) en lugar de \( t \):
\[
x(-t) = e^{2t} \cos(-t)
\]
Dado que \( \cos(-t) = \cos(t) \), tenemos:
\[
x(-t) = e^{2t} \cos(t)
\]

### Paso 2: Calcular la parte par \( x_{\text{par}}(t) \)
Usamos la fórmula para la parte par:
\[
x_{\text{par}}(t) = \frac{x(t) + x(-t)}{2}
\]
Sustituyendo los valores de \( x(t) \) y \( x(-t) \):
\[
x_{\text{par}}(t) = \frac{e^{-2t} \cos(t) + e^{2t} \cos(t)}{2}
\]
Factorizamos \( \cos(t) \):
\[
x_{\text{par}}(t) = \frac{\cos(t)(e^{-2t} + e^{2t})}{2}
\]
El término \( e^{-2t} + e^{2t} \) es una suma de exponentes que corresponde a una función hiperbólica coseno:
\[
e^{-2t} + e^{2t} = 2 \cosh(2t)
\]
Por lo tanto:
\[
x_{\text{par}}(t) = \cos(t) \cosh(2t)
\]

### Paso 3: Calcular la parte impar \( x_{\text{impar}}(t) \)
Usamos la fórmula para la parte impar:
\[
x_{\text{impar}}(t) = \frac{x(t) - x(-t)}{2}
\]
Sustituyendo los valores de \( x(t) \) y \( x(-t) \):
\[
x_{\text{impar}}(t) = \frac{e^{-2t} \cos(t) - e^{2t} \cos(t)}{2}
\]
Factorizamos \( \cos(t) \):
\[
x_{\text{impar}}(t) = \frac{\cos(t)(e^{-2t} - e^{2t})}{2}
\]
El término \( e^{-2t} - e^{2t} \) es una diferencia de exponentes que corresponde a una función hiperbólica seno:
\[
e^{-2t} - e^{2t} = -2 \sinh(2t)
\]
Por lo tanto:
\[
x_{\text{impar}}(t) = -\cos(t) \sinh(2t)
\]

### Resumen
La función \( x(t) = e^{-2t} \cos(t) \) se puede descomponer como:

- **Parte par**: \( x_{\text{par}}(t) = \cos(t) \cosh(2t) \)
- **Parte impar**: \( x_{\text{impar}}(t) = -\cos(t) \sinh(2t) \)

¿Te gustaría que explique algún paso en mayor detalle o tienes alguna duda?

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Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se comporta una señal par respecto al origen?
2. ¿Qué propiedades tienen las señales impares respecto a su simetría?
3. ¿Cómo afecta el coseno hiperbólico \( \cosh(t) \) a la forma de la señal par?
4. ¿Cuál es la relación entre el seno hiperbólico \( \sinh(t) \) y la parte impar de la señal?
5. ¿Por qué se utiliza la función hiperbólica para descomponer en señales pares e impares?
6. ¿Qué sucede si \( x(t) \) es ya una señal puramente par o impar?
7. ¿Cómo cambiaría la descomposición si la función original fuese senoidal en lugar de cosenoidal?
8. ¿Cómo interpretar físicamente las señales pares e impares en aplicaciones de ingeniería?

**Tip**: Recuerda que las funciones hiperbólicas \( \cosh(t) \) y \( \sinh(t) \) son útiles para manejar sumas y diferencias de exponentes.

Aprende cómo descomponer la función x(t) = e^(-2t) * cos(t) en sus componentes par e impar con una explicación detallada paso a paso. Incluye fórmulas clave como las funciones par e impar, y el uso de coseno hiperbólico y seno hiperbólico. Adecuado para estudiantes de grados 11-12.

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