Vamos a derivar la función:

\[
f(x) = \frac{2x + 3}{5x + 4}
\]

### Paso 1: Identificamos las funciones \( u(x) \) y \( v(x) \)
Tenemos:

- \( u(x) = 2x + 3 \)
- \( v(x) = 5x + 4 \)

### Paso 2: Derivamos \( u(x) \) y \( v(x) \)
- \( u'(x) = 2 \)
- \( v'(x) = 5 \)

### Paso 3: Aplicamos la regla del cociente
La regla del cociente establece que:

\[
f'(x) = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{[v(x)]^2}
\]

Sustituyendo las derivadas y las funciones:

\[
f'(x) = \frac{(2)(5x + 4) - (2x + 3)(5)}{(5x + 4)^2}
\]

### Paso 4: Simplificación del numerador
Expandiendo los términos en el numerador:

\[
(2)(5x + 4) = 10x + 8
\]
\[
(2x + 3)(5) = 10x + 15
\]

Restando estos dos resultados:

\[
10x + 8 - (10x + 15) = 10x + 8 - 10x - 15 = -7
\]

### Paso 5: Resultado final
La derivada es:

\[
f'(x) = \frac{-7}{(5x + 4)^2}
\]

---

¿Te gustaría que ampliemos esta derivada o tienes otra pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se utilizan las reglas de derivación en funciones trigonométricas?
2. ¿Cómo se calcula la derivada de una función logarítmica?
3. ¿Cómo interpretar el signo de la derivada para analizar el crecimiento o decrecimiento de una función?
4. ¿Qué sucede si el denominador de la función es una expresión más compleja?
5. ¿Cómo encontrar la segunda derivada de una función?

### Tip:
Es útil mantener un enfoque estructurado al usar la regla del cociente: deriva primero ambas funciones y luego expande y simplifica cuidadosamente el numerador.

Explore the derivative of f(x) = (2x + 3) / (5x + 4) with a detailed step-by-step solution. This problem covers derivatives using the quotient rule, function composition, and simplification techniques. Suitable for advanced high school students.

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