Vamos a derivar la función \( f(x) = \frac{3x - 5}{6x + 7} \) utilizando la regla del cociente.

**Paso 1: Identificar las funciones \( u(x) \) y \( v(x) \):**

- \( u(x) = 3x - 5 \)
- \( v(x) = 6x + 7 \)

**Paso 2: Calcular las derivadas \( u'(x) \) y \( v'(x) \):**

- \( u'(x) = 3 \) (derivada de \( 3x - 5 \))
- \( v'(x) = 6 \) (derivada de \( 6x + 7 \))

**Paso 3: Aplicar la regla del cociente:**

\[
f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}
\]

Sustituyendo los valores:

\[
f'(x) = \frac{3(6x + 7) - (3x - 5)(6)}{(6x + 7)^2}
\]

**Paso 4: Simplificar la expresión:**

Expandimos y simplificamos el numerador:

\[
f'(x) = \frac{18x + 21 - (18x - 30)}{(6x + 7)^2}
\]

\[
f'(x) = \frac{18x + 21 - 18x + 30}{(6x + 7)^2}
\]

\[
f'(x) = \frac{51}{(6x + 7)^2}
\]

Por lo tanto, la derivada de \( f(x) = \frac{3x - 5}{6x + 7} \) es:

\[
f'(x) = \frac{51}{(6x + 7)^2}
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Cómo se deriva un cociente donde \( u(x) \) o \( v(x) \) son funciones más complejas?
2. ¿Cómo aplicar la regla del producto en derivadas?
3. ¿Qué es una derivada implícita?
4. ¿Cómo se calcula la derivada de una función exponencial?
5. ¿Qué son las derivadas de orden superior?

**Tip:** Al derivar cocientes, asegúrate de organizar bien cada paso para evitar errores en la simplificación.

Learn how to find the derivative of the function f(x) = (3x - 5) / (6x + 7) step-by-step with the quotient rule. This problem involves derivatives and the quotient rule formula, suitable for advanced high school students.

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