f(x) = 1/x+3 
hallar por definicion f´(x)

Para hallar la derivada de \( f(x) = \frac{1}{x+3} \) utilizando la definición de derivada, aplicamos el siguiente límite:

\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
\]

1. **Paso 1: Expresamos \( f(x+h) \)**

\[
f(x+h) = \frac{1}{(x+h) + 3} = \frac{1}{x + h + 3}
\]

2. **Paso 2: Sustituimos en la definición de derivada**

\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x+h+3} - \frac{1}{x+3}}{h}
\]

3. **Paso 3: Simplificamos la diferencia de fracciones**

Para simplificar \( \frac{1}{x+h+3} - \frac{1}{x+3} \), usamos el mínimo común denominador:

\[
\frac{1}{x+h+3} - \frac{1}{x+3} = \frac{(x+3) - (x+h+3)}{(x+h+3)(x+3)} = \frac{x+3 - x - h - 3}{(x+h+3)(x+3)} = \frac{-h}{(x+h+3)(x+3)}
\]

4. **Paso 4: Sustituimos en el límite**

\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{-h}{(x+h+3)(x+3)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h(x+h+3)(x+3)}
\]

5. **Paso 5: Cancelamos \( h \) en el numerador y denominador**

\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{(x+h+3)(x+3)}
\]

6. **Paso 6: Evaluamos el límite cuando \( h \to 0 \)**

\[
f'(x) = \frac{-1}{(x+3)^2}
\]

Por lo tanto, la derivada de \( f(x) = \frac{1}{x+3} \) es:

\[
f'(x) = \frac{-1}{(x+3)^2}
\]

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso? 

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplica la definición de derivada en otras funciones racionales?
2. ¿Cuál es la interpretación gráfica de la derivada \( f'(x) \) en este caso?
3. ¿Cómo afecta la regla del cociente a la derivación de funciones racionales?
4. ¿Cómo podríamos derivar esta función usando las reglas comunes de derivación?
5. ¿Cómo cambiaría el resultado si se tratara de \( f(x) = \frac{1}{x-3} \)?

**Tip:** Siempre puedes comprobar tus derivadas usando reglas básicas como la del cociente o la de la potencia para ahorrar tiempo.

f(x) = 1/(x+3) hallar por definicion f´(x)

Learn how to find the derivative of the function f(x) = 1/(x+3) using the formal definition of a derivative. This detailed step-by-step guide covers calculus concepts such as limits, simplifying rational functions, and applying the definition of a derivative. Suitable for students in Grades 11-12 and early college calculus.

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