A continuación, usted estudiará cómo los efectos relativistas afectan la percepción del tiempo que experimentan los astronautas en la EEI en comparación con un observador en la Tierra. Usted va a estimar en cuánto difieren las lecturas de los dos tiempos medidos en la EEI y en la tierra. Para ello, va a usar los tiempos que registró en la parte I del ejercicio: Δ𝑡=161395200𝑠    Si la EEI tiene una velocidad en órbita de u=27600 kmh⁄=7706,7 ms⁄.
B.
Estime usando la ecuación de la dilatación del tiempo de la relatividad especial, el desfase de tiempo que experimentan los astronautas en la EEI en comparación con el tiempo dilatado medido por el observador en la Tierra.
Sugerencia: Como u≪c, puede simplificar el factor √1−u2c2 mediante expansión binomial a primer orden. Es necesario usar esta expansión para efectos de este ejercicio y escribir el cálculo explícitamente.
C.
Determine el valor que obtendría el astronauta en la EEI.
D.
¿Cuál registrará el menor tiempo transcurrido, el astronauta en la EEI o usted como observador en la tierra?                

### Parte B: Estimación del desfase de tiempo usando la dilatación temporal relativista

La **dilatación del tiempo** en relatividad especial se describe por la fórmula:

\[
\Delta t' = \frac{\Delta t}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}}
\]

donde:
- \( \Delta t' \) es el tiempo medido por el astronauta en la Estación Espacial Internacional (EEI),
- \( \Delta t \) es el tiempo medido por el observador en la Tierra (161,395,200 segundos en este caso),
- \( u \) es la velocidad de la EEI (\( 7706.7 \, \text{m/s} \)),
- \( c \) es la velocidad de la luz en el vacío (\( 3 \times 10^8 \, \text{m/s} \)).

Como \( u \ll c \), podemos aproximar el factor relativista \( \sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}} \) usando una **expansión binomial** al primer orden. Para \( x \ll 1 \), tenemos:

\[
\sqrt{1 - x} \approx 1 - \frac{x}{2}
\]

En nuestro caso, \( x = \frac{u^2}{c^2} \), así que:

\[
\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}} \approx 1 - \frac{u^2}{2c^2}
\]

#### Cálculo del desfase de tiempo

1. Primero, calculamos \( \frac{u^2}{c^2} \):

\[
\frac{u^2}{c^2} = \frac{(7706.7 \, \text{m/s})^2}{(3 \times 10^8 \, \text{m/s})^2}
\]

2. Sustituimos en la expansión binomial para obtener \( \sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}} \).

3. Finalmente, calculamos el desfase de tiempo:

\[
\Delta t' = \Delta t \times \left(1 - \frac{u^2}{2c^2}\right)
\]

Realizaré los cálculos para encontrar el valor estimado del desfase.1. El valor de \( \frac{u^2}{c^2} \) es aproximadamente \( 6.599 \times 10^{-10} \).
2. Usando la expansión binomial, el factor relativista \( \sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}} \) se aproxima a \( 0.99999999967 \).
3. El tiempo medido por el astronauta en la EEI, \( \Delta t' \), es aproximadamente **161,395,199.95 segundos**.

### Parte C: Tiempo medido por el astronauta en la EEI

El astronauta en la EEI mediría un tiempo de **161,395,199.95 segundos**, lo que significa que el desfase de tiempo es extremadamente pequeño, pero perceptible a escalas precisas.

### Parte D: ¿Quién registra el menor tiempo?

El **astronauta en la EEI** registrará un tiempo **menor** debido a la dilatación temporal relativista. Aunque el desfase es muy pequeño, el tiempo transcurre más lentamente para el astronauta en movimiento en comparación con el observador en la Tierra.

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta adicional?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para ampliar la información:
1. ¿Cómo afecta el aumento de velocidad de la EEI al desfase temporal?
2. ¿Cómo se calcularía el desfase de tiempo si la velocidad fuese la mitad de la actual?
3. ¿Qué pasaría si la velocidad de la EEI fuese cercana a la velocidad de la luz?
4. ¿Cómo varía la dilatación del tiempo a diferentes altitudes de la órbita terrestre?
5. ¿Qué papel juega la gravedad en la dilatación temporal para los astronautas?

**Tip:** La dilatación temporal relativista no es el único factor; la gravedad también afecta el tiempo (dilatación gravitacional).

A continuación, usted estudiará cómo los efectos relativistas afectan la percepción del tiempo que experimentan los astronautas en la EEI en comparación con un observador en la Tierra. Usted va a estimar en cuánto difieren las lecturas de los dos tiempos medidos en la EEI y en la tierra. Para ello, va a usar los tiempos que registró en la parte I del ejercicio: Δ𝑡=161395200𝑠    Si la EEI tiene una velocidad en órbita de u=27600 kmh⁄=7706,7 ms⁄. B. Estime usando la ecuación de la dilatación del tiempo de la relatividad especial, el desfase de tiempo que experimentan los astronautas en la EEI en comparación con el tiempo dilatado medido por el observador en la Tierra. Sugerencia: Como u≪c, puede simplificar el factor √1−u2c2 mediante expansión binomial a primer orden. Es necesario usar esta expansión para efectos de este ejercicio y escribir el cálculo explícitamente. C. Determine el valor que obtendría el astronauta en la EEI. D. ¿Cuál registrará el menor tiempo transcurrido, el astronauta en la EEI o usted como observador en la tierra?

Explore how relativistic effects influence the time perception for astronauts aboard the ISS compared to observers on Earth. This problem involves time dilation in special relativity, using a binomial expansion approximation, and calculates the time difference between Earth and space.

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