Para hallar la derivada de la función \( f(x) = \frac{1}{x+3} \) por definición, usamos el límite que define la derivada:

\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
\]

Donde \( f(x+h) = \frac{1}{(x+h)+3} = \frac{1}{x+h+3} \).

Ahora, sustituyendo en la fórmula de la derivada:

\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x+h+3} - \frac{1}{x+3}}{h}
\]

Para simplificar, restamos las fracciones:

\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x+3) - (x+h+3)}{(x+h+3)(x+3)}}{h}
\]

El numerador se simplifica a:

\[
(x+3) - (x+h+3) = -h
\]

Entonces tenemos:

\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{-h}{(x+h+3)(x+3)}}{h}
\]

Ahora, simplificamos dividiendo por \( h \):

\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{(x+h+3)(x+3)}
\]

Finalmente, cuando \( h \to 0 \), obtenemos:

\[
f'(x) = \frac{-1}{(x+3)^2}
\]

Por lo tanto, la derivada de \( f(x) = \frac{1}{x+3} \) es:

\[
f'(x) = \frac{-1}{(x+3)^2}
\]

¿Tienes alguna pregunta o quieres más detalles sobre este proceso?

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5. ¿Cómo se puede interpretar gráficamente la derivada de \( f(x) = \frac{1}{x+3} \)?

**Tip:** La derivada nos indica la pendiente de la tangente a la curva en un punto dado, ayudando a entender cómo cambia la función localmente.

Learn how to calculate the derivative of the function f(x) = 1/(x+3) using the definition of derivatives. This problem explores key calculus concepts like limits and rational function differentiation, making it suitable for students in Grades 11-12 or early college calculus courses.

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