resuelve la integral de: integral desde -1 hasta 2 de (3-x)(1- raiz de x) dx y dime con que formula resolviste todo esto, resuélvelo paso por paso sin ser tan directo

Vamos a resolver la integral definida:

\[
\int_{-1}^{2} (3 - x)(1 - \sqrt{x}) \, dx
\]

### Paso 1: Análisis de la integral

La integral contiene un producto de dos expresiones: \((3 - x)\) y \((1 - \sqrt{x})\). Vamos a descomponerla para facilitar su resolución.

Primero expandimos el producto:

\[
(3 - x)(1 - \sqrt{x}) = 3(1 - \sqrt{x}) - x(1 - \sqrt{x})
\]
Distribuimos cada término:
\[
= 3 - 3\sqrt{x} - x + x\sqrt{x}
\]

Así que la integral se convierte en:

\[
\int_{-1}^{2} (3 - 3\sqrt{x} - x + x\sqrt{x}) \, dx
\]

### Paso 2: Propiedades de la integral definida

Sabemos que las integrales de funciones que involucran \(\sqrt{x}\) no están definidas para valores negativos en los límites de integración. Es decir, el término \(\sqrt{x}\) en los límites desde \(-1\) hasta \(2\) genera un problema, ya que no se puede calcular la raíz cuadrada de números negativos en el contexto de los números reales.

Por lo tanto, la integral tal como está planteada no es válida debido al límite inferior en \(-1\).

### Paso 3: Restricción del dominio

Para que la integral sea válida, necesitamos ajustar los límites de integración a valores en los que \(x \geq 0\), donde la raíz cuadrada esté bien definida. Entonces, podemos resolver la integral solo en el intervalo válido:

\[
\int_{0}^{2} (3 - x)(1 - \sqrt{x}) \, dx
\]

### Paso 4: Descomposición de la integral

Ya que tenemos:

\[
3 - 3\sqrt{x} - x + x\sqrt{x}
\]

Podemos ahora separar esta integral en sumas de integrales más simples:

\[
\int_0^2 (3 - 3\sqrt{x} - x + x\sqrt{x}) \, dx = \int_0^2 3 \, dx - \int_0^2 3\sqrt{x} \, dx - \int_0^2 x \, dx + \int_0^2 x\sqrt{x} \, dx
\]

### Paso 5: Cálculo de cada integral

1. **Primera integral**:

\[
\int_0^2 3 \, dx = 3x \Big|_0^2 = 3(2) - 3(0) = 6
\]

2. **Segunda integral**:

\[
\int_0^2 3\sqrt{x} \, dx = 3 \int_0^2 x^{1/2} \, dx
\]

Aplicamos la fórmula de la integral de potencias: \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\). Para \(n = 1/2\):

\[
= 3 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^2 = 3 \left[ \frac{2^{3/2}}{3/2} \right] = 2 \cdot (2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}
\]

3. **Tercera integral**:

\[
\int_0^2 x \, dx = \frac{x^2}{2} \Big|_0^2 = \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} = 2
\]

4. **Cuarta integral**:

\[
\int_0^2 x\sqrt{x} \, dx = \int_0^2 x^{3/2} \, dx
\]

Aplicamos la fórmula de la integral de potencias con \(n = 3/2\):

\[
= \frac{x^{5/2}}{5/2} \Big|_0^2 = \frac{2^{5/2}}{5/2} = \frac{4\sqrt{2}}{5} = \frac{8\sqrt{2}}{5}
\]

### Paso 6: Resultado final

Sumamos todas las partes:

\[
6 - 4\sqrt{2} - 2 + \frac{8\sqrt{2}}{5}
\]

Combinamos términos:

\[
= (6 - 2) + \left( -4\sqrt{2} + \frac{8\sqrt{2}}{5} \right) = 4 + \left( -4\sqrt{2} + \frac{8\sqrt{2}}{5} \right)
\]

Factorizamos \(\sqrt{2}\) en la parte correspondiente:

\[
4 + \sqrt{2} \left( -4 + \frac{8}{5} \right) = 4 + \sqrt{2} \left( \frac{-20 + 8}{5} \right) = 4 + \sqrt{2} \left( \frac{-12}{5} \right)
\]

Finalmente, obtenemos:

\[
4 - \frac{12\sqrt{2}}{5}
\]

### Fórmulas aplicadas

- Integral de una constante: \(\int a \, dx = ax\)
- Integral de potencias: \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\) para \(n \neq -1\)

---

¿Te gustaría más detalles o alguna aclaración? 

Aquí tienes 5 preguntas adicionales relacionadas:

1. ¿Qué sucede si intentamos integrar en todo el intervalo original, desde \(-1\)?
2. ¿Cómo se comporta la función en un gráfico para \(x \geq 0\)?
3. ¿Qué sucede si cambiamos el exponente de la raíz a otro valor?
4. ¿Qué técnicas alternativas podríamos usar para esta integral?
5. ¿Cómo interpretarías el resultado de esta integral en términos geométricos?

**Tip**: Siempre verifica si la función a integrar está definida en el intervalo dado antes de resolver una integral.

resuelve la integral de: integral desde -1 hasta 2 de (3-x)(1 - raiz de x) dx y dime con que formula resolviste todo esto, resuélvelo paso por paso sin ser tan directo

Aprende a resolver paso a paso la integral definida ∫(3-x)(1 - √x) dx en el intervalo de -1 a 2. Esta solución incluye descomposición del producto, restricciones del dominio, y cálculo usando fórmulas de integración para funciones radicales. Dirigido a estudiantes avanzados de cálculo.

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