Para resolver la integral \(\int \frac{du}{u^2 + 2u}\), primero factorizamos el denominador.

### Paso 1: Completar el cuadrado
El denominador se puede expresar de la siguiente manera:
\[
u^2 + 2u = (u + 1)^2 - 1
\]
Entonces, la integral se convierte en:
\[
\int \frac{du}{(u + 1)^2 - 1}
\]

### Paso 2: Sustitución para simplificar la integral
Hacemos la sustitución \(v = u + 1\), lo que implica \(du = dv\). La integral se transforma en:
\[
\int \frac{dv}{v^2 - 1}
\]

### Paso 3: Descomposición en fracciones parciales
El integrando \(\frac{1}{v^2 - 1}\) se puede descomponer en fracciones parciales:
\[
\frac{1}{v^2 - 1} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{v - 1} - \frac{1}{v + 1}\right)
\]
Por lo tanto, la integral se convierte en:
\[
\int \frac{1}{2} \left(\frac{1}{v - 1} - \frac{1}{v + 1}\right) dv
\]

### Paso 4: Integrar
Ahora integramos cada término por separado:
\[
\frac{1}{2} \left(\int \frac{1}{v - 1} dv - \int \frac{1}{v + 1} dv\right)
\]
Esto nos da:
\[
\frac{1}{2} \left(\ln |v - 1| - \ln |v + 1|\right) + C
\]

### Paso 5: Volver a la variable original
Sustituimos \(v = u + 1\) para volver a la variable original:
\[
\frac{1}{2} \left(\ln |(u + 1) - 1| - \ln |(u + 1) + 1|\right) + C
\]
Simplificando:
\[
\frac{1}{2} \left(\ln |u| - \ln |u + 2|\right) + C
\]
Finalmente, la integral es:
\[
\frac{1}{2} \ln \left(\frac{|u|}{|u + 2|}\right) + C
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se realiza la descomposición en fracciones parciales?
2. ¿Qué sucede si el denominador no es factorizable fácilmente?
3. ¿Cómo se completa el cuadrado en otras integrales similares?
4. ¿Cuáles son las propiedades de los logaritmos usadas en esta solución?
5. ¿Qué otras sustituciones comunes se utilizan en integrales?

### Tip:
Siempre verifica si puedes simplificar el denominador completando el cuadrado para facilitar la integración.

Learn how to solve the integral du/(u^2 + 2u) by completing the square and using partial fraction decomposition. This step-by-step guide covers important calculus concepts, including logarithmic integration and simplifying expressions. Ideal for university-level calculus students.

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