4. Desigualdad triangular
Demostrar que, para cualesquiera dos vectores a⃗ y b⃗, siempre se cumple que

|a⃗ + b⃗| ≤ (a + b). (1)

(Ayuda: Trabaje el lado derecho de (1) y compárelo con (a+ b)
2
). Explique el porqué a (1) se le conoce como

la desigualdad triangular.

La **desigualdad triangular** es una propiedad fundamental en álgebra vectorial y análisis, que establece que para cualesquiera dos vectores \( \vec{a} \) y \( \vec{b} \) en un espacio vectorial, la magnitud de su suma es siempre menor o igual a la suma de sus magnitudes. Esta propiedad se expresa formalmente como:

\[
|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|
\]

### Demostración:

#### Paso 1: Expansión de los términos.
Consideremos la magnitud del vector suma \( \vec{a} + \vec{b} \):

\[
|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})}
\]

Ahora expandamos el producto punto:

\[
|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a} + 2 (\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}}
\]

Sabemos que \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \) y \( \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 \), así que sustituimos:

\[
|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + 2 (\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2}
\]

#### Paso 2: Uso de la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Sabemos que el producto punto entre dos vectores \( \vec{a} \) y \( \vec{b} \) satisface la siguiente desigualdad, conocida como la desigualdad de **Cauchy-Schwarz**:

\[
|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|
\]

Esto implica que:

\[
2 (\vec{a} \cdot \vec{b}) \leq 2 |\vec{a}| |\vec{b}|
\]

#### Paso 3: Comparación de los términos.
Por lo tanto, podemos ver que la expresión \( |\vec{a} + \vec{b}| \) está limitada por:

\[
|\vec{a} + \vec{b}| \leq \sqrt{|\vec{a}|^2 + 2 |\vec{a}| |\vec{b}| + |\vec{b}|^2}
\]

Esta expresión es precisamente:

\[
\sqrt{(|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2} = |\vec{a}| + |\vec{b}|
\]

#### Paso 4: Conclusión.
De esta forma, hemos demostrado que:

\[
|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|
\]

### ¿Por qué se llama desigualdad triangular?

Esta desigualdad se llama **desigualdad triangular** porque en un espacio vectorial o geométrico, los vectores pueden interpretarse como lados de un triángulo. Si consideramos que \( \vec{a} \) y \( \vec{b} \) son dos lados de un triángulo, entonces \( |\vec{a} + \vec{b}| \) representa la longitud del tercer lado del triángulo. La desigualdad establece que la longitud de un lado de un triángulo es siempre menor o igual que la suma de las longitudes de los otros dos lados, que es una propiedad geométrica clásica de los triángulos.

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¿Te gustaría ver más detalles sobre algún paso? 

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se deriva la desigualdad de Cauchy-Schwarz?
2. ¿En qué situaciones se presenta la igualdad en la desigualdad triangular?
3. ¿Cómo se representa geométricamente la desigualdad triangular en el plano cartesiano?
4. ¿Cómo se aplica la desigualdad triangular en el cálculo de distancias en espacios métricos?
5. ¿Qué relación tiene la desigualdad triangular con la norma de un vector?

### Tip:
Para visualizar la desigualdad triangular, dibuja un triángulo con vectores como lados y observa cómo la suma de dos lados siempre es mayor que o igual a la longitud del tercer lado.

Desigualdad triangular: Demostrar que, para cualesquiera dos vectores a⃗ y b⃗, siempre se cumple que |a⃗ + b⃗| ≤ (a + b). Explique por qué a (1) se le conoce como la desigualdad triangular.

Demuestra la desigualdad triangular para vectores: |a⃗ + b⃗| ≤ |a⃗| + |b⃗|. Aprende cómo se aplica la desigualdad de Cauchy-Schwarz y por qué se le llama desigualdad triangular en el contexto geométrico.

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