¿será cierto o falso que?

(3−2i)8=−239+28560i
 



Pregunta 4Elija una;
Verdadero
Falso

Para verificar si la igualdad es **verdadera o falsa**, necesitamos calcular la potencia de \( (3 - 2i)^8 \) y compararla con \( -239 + 28560i \).

### Paso 1: Expresar \( 3 - 2i \) en forma polar

Primero, convertimos el número complejo \( 3 - 2i \) a su forma polar:

- La magnitud \( r \) del número complejo es:
  \[
  r = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}
  \]

- El argumento \( \theta \) es:
  \[
  \theta = \text{atan2}(-2, 3)
  \]

\[
\theta \approx \arctan\left(\frac{-2}{3}\right) \approx -0.588 \, \text{radianes}
\]

### Paso 2: Elevar a la potencia 8

Utilizamos la fórmula de De Moivre para calcular \( (3 - 2i)^8 \):
\[
(3 - 2i)^8 = r^8 \left( \cos(8\theta) + i \sin(8\theta) \right)
\]
Sabemos que \( r^8 = (\sqrt{13})^8 = 13^4 = 28561 \).

El cálculo del ángulo \( 8\theta \) da:
\[
8\theta = 8 \times (-0.588) \approx -4.704 \, \text{radianes}
\]
\[
\cos(-4.704) \approx -0.0084 \quad \text{y} \quad \sin(-4.704) \approx 1.0
\]

### Paso 3: Aplicar la fórmula

Usando estos valores, podemos aproximar:
\[
(3 - 2i)^8 \approx 28561 \left( -0.0084 + i \right)
\]
\[
(3 - 2i)^8 \approx -239 + 28560i
\]

### Conclusión

El cálculo muestra que **la igualdad es verdadera**, ya que coincide con \( -239 + 28560i \).

---

**¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?**

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se convierte un número complejo de forma rectangular a forma polar?
2. ¿Qué es la fórmula de De Moivre y para qué se utiliza?
3. ¿Qué representa el argumento de un número complejo?
4. ¿Cómo se calcula la magnitud de un número complejo?
5. ¿Por qué se utiliza la función \( \text{atan2} \) en lugar de \( \arctan \)?

**Tip:** Al trabajar con números complejos en forma polar, los ángulos deben estar en radianes para aplicar correctamente las fórmulas.

¿será cierto o falso que (3−2i)^8=−239+28560i?

Learn how to verify if (3−2i)^8 equals −239 + 28560i using De Moivre's Theorem. This solution covers the conversion of complex numbers into polar form and detailed calculations involving powers of complex numbers. Suitable for advanced high school and college-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation