Los vectores 𝑎 y 𝑏⃗ forman entre si un ángulo de 
30° y la norma de A es √48. Halla la norma de 𝑏⃗ 
sabiendo que 𝑎 – 𝑏⃗ es perpendicular al vector 𝑎 .

Para resolver este problema, necesitamos utilizar algunos conceptos básicos de vectores, tales como el producto punto y las propiedades de ángulos entre vectores. Vamos a desglosar el problema paso a paso.

### Información proporcionada:
1. Los vectores \( \mathbf{a} \) y \( \mathbf{b} \) forman un ángulo de 30°.
2. \( ||\mathbf{a}|| = \sqrt{48} \).
3. \( \mathbf{a} - \mathbf{b} \) es perpendicular a \( \mathbf{a} \), lo que implica que el producto punto \( (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot \mathbf{a} = 0 \).

### Paso 1: Usa la perpendicularidad
El producto punto entre \( \mathbf{a} - \mathbf{b} \) y \( \mathbf{a} \) es:

\[
(\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot \mathbf{a} = 0
\]

Expandiendo esto:

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} = 0
\]

Sabemos que \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = ||\mathbf{a}||^2 = (\sqrt{48})^2 = 48 \), por lo que la ecuación se convierte en:

\[
48 - \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} = 0
\]

De aquí obtenemos que:

\[
\mathbf{b} \cdot \mathbf{a} = 48
\]

### Paso 2: Expresa el producto punto en función del ángulo
Sabemos que el producto punto de dos vectores también se puede expresar como:

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = ||\mathbf{a}|| ||\mathbf{b}|| \cos(\theta)
\]

Donde \( \theta = 30^\circ \). Sustituyendo los valores conocidos:

\[
48 = (\sqrt{48}) ||\mathbf{b}|| \cos(30^\circ)
\]

Sabemos que \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), entonces la ecuación queda:

\[
48 = (\sqrt{48}) ||\mathbf{b}|| \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

### Paso 3: Resuelve para \( ||\mathbf{b}|| \)
Ahora despejamos \( ||\mathbf{b}|| \):

\[
48 = \frac{\sqrt{48} \cdot \sqrt{3}}{2} ||\mathbf{b}||
\]

Multiplicamos ambos lados por 2:

\[
96 = \sqrt{48} \cdot \sqrt{3} \cdot ||\mathbf{b}||
\]

Sabemos que \( \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \), por lo que la ecuación se convierte en:

\[
96 = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot ||\mathbf{b}||
\]

Simplificando \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \):

\[
96 = 12 \cdot ||\mathbf{b}||
\]

Finalmente, despejamos \( ||\mathbf{b}|| \):

\[
||\mathbf{b}|| = \frac{96}{12} = 8
\]

### Respuesta:
La norma del vector \( \mathbf{b} \) es \( ||\mathbf{b}|| = 8 \).

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna otra pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se define el producto punto entre dos vectores?
2. ¿Qué relación existe entre el ángulo entre dos vectores y su producto punto?
3. ¿Cómo se interpreta la perpendicularidad de dos vectores?
4. ¿Qué métodos hay para calcular la norma de un vector?
5. ¿Cómo afecta el ángulo entre dos vectores a su magnitud combinada?

**Tip:** El producto punto es una herramienta clave en la geometría vectorial y sirve para determinar ángulos entre vectores, proyecciones, y condiciones de perpendicularidad.

Los vectores 𝑎 y 𝑏⃗ forman entre sí un ángulo de 30° y la norma de A es √48. Halla la norma de 𝑏⃗ sabiendo que 𝑎 – 𝑏⃗ es perpendicular al vector 𝑎.

Aprende cómo calcular la norma del vector b cuando los vectores a y b forman un ángulo de 30°, y a - b es perpendicular a a. Incluye el uso del producto punto y la norma del vector, adecuado para estudiantes de secundaria.

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