 Mostre que, para quaisquer números reais a e b, se tem


||a| − |b||

 ⩽ |a − b|

Para demonstrar que, para quaisquer números reais \(a\) e \(b\), a desigualdade

\[
||a| - |b|| \leq |a - b|
\]

é sempre válida, vamos proceder com os seguintes passos:

### Passo 1: Considere o Teorema da Desigualdade Triangular
Sabemos que, para quaisquer números reais \(x\) e \(y\), a desigualdade triangular afirma que:

\[
|x + y| \leq |x| + |y|
\]

Vamos usar essa propriedade para demonstrar a desigualdade desejada.

### Passo 2: Dividindo a demonstração em dois casos

Agora, vamos analisar a desigualdade \(||a| - |b|| \leq |a - b|\) em termos de diferentes abordagens para manipular \( |a| \) e \( |b| \).

#### Caso 1: \( a \geq b \)
Neste caso, temos \( |a| - |b| \geq 0 \). Vamos observar que:

\[
|a| - |b| = a - b
\]

Dessa forma, temos:

\[
||a| - |b|| = |a - b|
\]

Logo, a desigualdade \( ||a| - |b|| \leq |a - b| \) é válida.

#### Caso 2: \( a < b \)
Neste caso, \( |b| - |a| \geq 0 \). Pela desigualdade triangular, sabemos que:

\[
|a - b| = |b - a|
\]

Assim, temos:

\[
||a| - |b|| = |b - a| = |a - b|
\]

Portanto, neste caso, a desigualdade \( ||a| - |b|| \leq |a - b| \) também é válida.

### Conclusão:
Em ambos os casos, a desigualdade \( ||a| - |b|| \leq |a - b| \) é satisfeita. Logo, mostramos que, para quaisquer números reais \(a\) e \(b\), a desigualdade é sempre verdadeira.

---

Caso queira mais detalhes ou tenha alguma dúvida, fique à vontade para perguntar!

Aqui estão 5 questões relacionadas:

1. O que é a desigualdade triangular e como ela se aplica em outras situações?
2. Como podemos interpretar geometricamente a desigualdade \( ||a| - |b|| \leq |a - b| \)?
3. Essa desigualdade se aplica a números complexos? Se sim, como?
4. Como demonstrar essa desigualdade usando uma abordagem vetorial em 2D?
5. Existe uma interpretação algébrica mais profunda dessa desigualdade no contexto de métricas?

**Dica:** A desigualdade triangular é uma ferramenta poderosa na análise de desigualdades e na teoria de normas.

Mostre que, para quaisquer números reais a e b, se tem ||a| − |b|| ⩽ |a − b|

Discover how to prove that the inequality ||a| − |b|| ⩽ |a − b| holds for all real numbers a and b. This solution applies the triangle inequality and examines cases based on the relative values of a and b. Suitable for students in Grades 10-12.

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