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对于图中公式，i为虚数单位，n为整数，范围为负无穷到正无穷，对所有n取值求和该式，并将结果用狄拉克δ函数表示，且保证q只出现在δ函数的自变量中，给出详细的推导步骤

我们来看一下题目要求，目的是将下图中的表达式 \( C(q) \) 对所有 \( n \) 取值进行求和，并将结果表达成狄拉克 \( \delta \) 函数的形式，且保证 \( q \) 只出现在 \( \delta \) 函数的自变量中。

公式如下：
\[
C(q) = \frac{1}{2\pi} \sum_n e^{iqn - i(-1)^n \frac{\pi}{4}}
\]
其中：
- \( i \) 是虚数单位，即 \( i^2 = -1 \)；
- \( n \) 为整数，范围为负无穷到正无穷。

### 推导步骤：

1. **将指数部分拆解**：
   先将指数部分 \( iqn - i(-1)^n \frac{\pi}{4} \) 分解：
   \[
   e^{iqn - i(-1)^n \frac{\pi}{4}} = e^{iqn} \cdot e^{-i(-1)^n \frac{\pi}{4}}
   \]
   这里，第二项是一个常数，值取决于 \( n \) 的奇偶性。

2. **分别讨论 \( n \) 的奇偶性**：
   当 \( n \) 为偶数时，即 \( n = 2k \)：
   \[
   (-1)^n = (-1)^{2k} = 1
   \]
   这时：
   \[
   e^{-i(-1)^n \frac{\pi}{4}} = e^{-i \frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1 - i)
   \]

   当 \( n \) 为奇数时，即 \( n = 2k+1 \)：
   \[
   (-1)^n = (-1)^{2k+1} = -1
   \]
   这时：
   \[
   e^{-i(-1)^n \frac{\pi}{4}} = e^{i \frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1 + i)
   \]

3. **将和式分成两部分**：
   根据 \( n \) 的奇偶性将和式分开：
   \[
   C(q) = \frac{1}{2\pi} \left( \sum_{n \text{偶}} e^{iqn} \frac{1}{\sqrt{2}}(1 - i) + \sum_{n \text{奇}} e^{iqn} \frac{1}{\sqrt{2}}(1 + i) \right)
   \]

4. **进行求和**：
   我们可以使用指数函数的和式结果，特别是已知的狄拉克 \( \delta \) 函数的傅里叶级数展开式：
   \[
   \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{iqn} = 2\pi \delta(q)
   \]
   应用这个公式，我们对偶数项和奇数项分别求和。

   偶数项 \( n = 2k \)：
   \[
   \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{i2kq} = \pi \delta\left( \frac{q}{2} \right)
   \]

   奇数项 \( n = 2k+1 \)：
   \[
   \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{i(2k+1)q} = \pi \delta\left( \frac{q-1}{2} \right)
   \]

5. **最终表达式**：
   结合以上结果，我们可以将 \( C(q) \) 表达为狄拉克 \( \delta \) 函数的形式。

Detailed steps to solve the summation of the complex exponential formula involving iqn and express the result using the Dirac delta function, ensuring q appears only in the argument of the delta function. Key concepts include complex analysis and Fourier series.

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